第八章 第44讲　第3课时　圆锥曲线中的定值与定点问题-【南方凤凰台】2024高考数学（基础版）一轮复习导学案 全国（新教材新高考）配套精练

第八章 解析几何 第44讲　圆锥曲线的综合问题 第3课时　圆锥曲线中的定值与定点问题 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习　南方凤凰台　配套精练　数学（基础版） 1 1．(2022·丹东二模)已知圆M经过点(0,1)，且与直线y＝－1相切，圆心M的轨迹为C. (1) 求轨迹C的方程； 【解答】 　　　 　(1) 设圆心M(x，y)，由题意可得，点M到点(0,1)的距离与到直线y＝－1的距离相等，即圆心M的轨迹C为以(0,1)为焦点，y＝－1为准线的抛物线，所以圆心M的轨迹方程为x2＝4y. 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 1．(2022·丹东二模)已知圆M经过点(0,1)，且与直线y＝－1相切，圆心M的轨迹为C. (2) 经过点N(0,2)且不平行于x轴的直线与C交于P，Q两点，点P关于y轴的对称点为R，求证：直线QR经过定点． 【解答】 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 【解答】 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 【解答】 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 【解答】 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 【解答】 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 综上，直线AQ过定点(2,0)． 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 【解答】 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 【解答】 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 谢谢观赏 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习　南方凤凰台　配套精练　数学（基础版） 　　　 　(2) 由题意可知，直线PQ的斜率存在且不为0，设直线PQ：y＝kx＋2(k≠0)，P，Q，则R. 联立消去y得x2－4kx－8＝0，则Δ＝16k2＋32＞0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－8，直线QR的斜率kQR＝＝，直线QR的方程为y－＝(x－x2)，整理得y＝x＋，即直线QR的方程为y＝x－2，则直线QR经过定点(0，－2)． 2．已知等轴双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)过点(，)． (1) 求双曲线C1的方程； 　　　 　(1) 由等轴双曲线知a＝b，又过点(，)，所以－＝1，解得a＝b＝1，所以双曲线C1的方程为x2－y2＝1. 2．已知等轴双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)过点(，)． (2) 已知点A(，1)，斜率为k的直线l与双曲线C1交于P，Q两点(不同于点A)，且kAP＋kAQ＝，求证：直线l过定点． 　　　 　(2) 设l：y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立得(1－k2)x2－2kmx－m2－1＝0.当1－k2≠0，Δ＞0时，x1＋x2＝，x1x2＝. 又因为kAP＋kAQ＝，即＋＝，即＋＝，(2k－)x1x2－(k－m－1)(x1＋x2)－2m＝0，化简得m2＋(k－2)m－k＋1＝0，解得m＝－k＋1或m＝1. 当m＝－k＋1时，直线方程为y＝kx－k＋1＝k(x－)＋1，过定点(，1)，与A(，1)重合，不成立，舍去；当m＝1时，直线方程为y＝kx＋1，恒过定点(0,1)． 3． 3．(2022·南通模拟)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，四点M1，M2(3，)，M3，M4中恰有三点在C上． (1) 求双曲线C的方程； 　　　 　(1) 由题意可知点M3，M4两点关于原点对称，所以M3，M4一定在双曲线上，而M1，因为4＞2，但＜，所以点M1不在双曲线上，所以点M2，M3，M4在双曲线上，则解得所以双曲线C的方程为－y2＝1. 3．(2022·南通模拟)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，四点M1，M2(3，)，M3，M4中恰有三点在C上． (2) 过点(3,0)的直线l交C于P，Q两点，过点P作直线x＝1的垂线，垂足为A，求证：直线AQ过定点． 　　　 　(2) 设直线PQ的方程为x＝my＋3，代入双曲线的方程可得(m2－3)y2＋6my＋6＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则A(1，y1)，Δ＝36m2－24(m2－3)＝12m2＋72＞0，且y1＋y2＝，y1y2＝， 所以直线AQ的方程为y－y1＝(x－1)，即y－y1＝(x－1)，令y＝0，得x＝＋1＝. 因为y1＋y2＝，y1y2＝，所以my1y2＝＝－(y1＋y2)，所以x＝＝＝2. 4． (2023·苏州八校联盟二检)在数列{an}中，已知a1＝，an－an＋1＝2an＋1an(n∈N*)． (1) 求数列{an}的通项公式； 　　　 　(1) 由条件得＝－＝2，所以数列是以＝3为首项，公差d＝2的等差数列，所以＝3＋