第1章 第5讲　一元二次不等式-【南方凤凰台】2024高考数学（基础版）一轮复习导学案 全国（新教材新高考）课件

第一章 集合与常用逻辑用语、不等式 第5讲　一元二次不等式 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 数学 基础版 1 链教材·夯基固本 1. (人A必一P53练习1(2))不等式3x2－7x≤10的解集为_______________. 2. (人A必一P55习题1(4))不等式－3x2＋5x－4>0的解集为_______. 3. 已知不等式ax2＋bx－1>0的解集是{x|3<x<4}，则a＝________，b＝______. 4. 若不等式x2－2x＋k2－2>0对于任意的x∈[2，＋∞)恒成立，则k的取值范围是__________________________. 激活思维 ∅ 链教材 · 夯基固本 5. (人A必一P54练习2)如图，在长为8m，宽为 6m 的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，那么花卉带的宽度的取值范围是______________(单位：m)． (第5题) [1,3) 链教材 · 夯基固本 【解析】 设花卉带的宽度为 x m，则草坪面积为(8－2x)(6－2x)，由题意得(8－2x)(6－2x)≤24，即x2－7x＋6≤0，解得1≤x≤6. 链教材 · 夯基固本 1. 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集 设相应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根为x1，x2且x1≤x2，Δ＝b2－4ac，则不等式的解集的各种情况如下表： 基础回归   Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 链教材 · 夯基固本 {x|x<x1或x>x2} R {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 链教材 · 夯基固本 2. 求解一元二次不等式的三个步骤 (1) 解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0得到根； (2) 结合二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象； (3) 写出一元二次不等式的解集． 3. 与一元二次不等式有关的恒成立问题 链教材 · 夯基固本 4. 常用结论 (1) 含参数的一元二次不等式的解题步骤为：①将二次项系数转化为正数．②判断相应方程是否有根．③根据根的情况写出相应的解集，若方程有两个相异根，为了正确写出解集还要确定两个根的大小． (2) 若y＝f(x)，x∈D，则： ①f(x)≥a恒成立⇔f(x)min≥a成立； ②f(x)≤a恒成立⇔f(x)max≤a成立． 链教材 · 夯基固本 研题型·融会贯通 10 1 解不等式 例1　解下列关于x的不等式． (1) －6x2－5x＋1<0； 举题说法 研题型 · 融会贯通 【解答】 若a＝0，原不等式转化为－x＋1<0，即x>1. (2) ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)； 研题型 · 融会贯通 研题型 · 融会贯通 研题型 · 融会贯通 1. 可通过解相应一元二次方程的根，再画出相应二次函数的图象，求出不等式的解集． 2. 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论：(1) 根据二次项系数为正、负及零进行分类．(2) 根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．(3) 当有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论． 3. 分式不等式转化为整式不等式时，要注意等价转化，必要时要对分母进行限制，转化为不等式组． 研题型 · 融会贯通 解下列关于x的不等式． 研题型 · 融会贯通 【解答】 原不等式转化为(x－a)(x－a2)<0. 当a2>a，即a>1时，不等式的解集为{x|a<x<a2}； 当a2<a，即0<a<1时，不等式的解集为{x|a2<x<a}； 当a2＝a，即a＝1时，不等式的解集为∅. (2) x2－(a2＋a)x＋a3<0(a>0)； 研题型 · 融会贯通 2 三个“二次”之间的关系 例2　已知关于x的不等式kx2－2x＋3k<0. (1) 若不等式的解集为{x|x<－3或x>－1}，求k的值； 研题型 · 融会贯通 【解答】 由题意知不等式kx2－2x＋3k<0的解集为∅，若k＝0，则不等式为 －2x<0，此时x>0，不合题意； (2) 若不等式的解集为∅，求实数k的取值范围． 研题型 · 融会贯通 一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系： (1) 若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系． (2) 若一元二次不等式的解集为R或∅，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x轴的交点情况确定对应一元二次方程的判别式的符号，进而求出参数的取值范围． 研题型 · 融会贯通 【解析】 由题意可知，一元二次方程x2＋mx－2＝0的两根分别为－2,