第8章 微专题15　圆锥曲线中的几个常用二级结论-【南方凤凰台】2024高考数学（基础版）一轮复习导学案 全国（新教材新高考）课件

第八章 解析几何 微专题15　圆锥曲线中的几个常用二级结论 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 数学 基础版 1 1 焦点三角形的面积公式 1 C 2 两直线斜率的乘积为e2－1 平面内与两定点A1(－a,0)，A2(a,0)连线的斜率的乘积等于常数e2－1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线，其中两个定点为椭圆和双曲线的两个顶点．当e2－1>1时，轨迹为双曲线，当e2－1∈(－1,0)时，轨迹为椭圆． 1 2 (1) 若直线PA平分线段MN，求k的值； 【解答】 设P(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1>0，x2>0，x1≠x2，A(－x1，－y1)，C(x1,0)． (2) 对任意k>0，求证：PA⊥PB. A. －6 B. 5 C. 6 D. 7 2 椭圆、双曲线共焦点 3 【解析】 如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，则由椭圆及双曲线的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2，所以|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2. 【解析】 设椭圆C1、双曲线C2的共同半焦距为c，由椭圆、双曲线的对称性不妨令点M在第一象限，则由椭圆、双曲线的定义可知|MF1|＋|MF2|＝2a1，且|MF1|－|MF2|＝2a2，所以|MF1|＝a1＋a2，|MF2|＝a1－a2. 在△F1MF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|·cos∠F1MF, 2 焦点弦问题 4 【解析】 如图，连接AF1，BF1.因为2|OB|＝|F1F2|，所以BF1⊥BF2. 谢谢观赏 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 数学 基础版 (1) 已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆上，∠F1PF2＝θ，则其焦点三角形的面积为S△F1PF2＝b2tan. (2) 已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P在双曲线上，∠F1PF2＝θ，则其焦点三角形的面积为S△F1PF2＝. 例1　(1) 已知椭圆＋＝1上一点M与两焦点F1，F2所成的角∠F1MF2＝60°，则△F1MF2的面积为(　 　) A. B. 16 C. 3 D. 9 【解析】 根据椭圆焦点三角形的面积的二级结论S△F1PF2＝b2tan，得S△F1MF2＝9tan＝3. (2) 已知双曲线－＝1上一点M与两焦点F1，F2所成的∠F1MF2＝120°，则△F1MF2的面积为___________. 【解析】 根据双曲线焦点三角形的面积的二级结论S△F1PF2＝b2 ，得S△F1MF2＝25×＝. 例2　如图，在平面直角坐标系xOy中，M，N分别是椭圆＋＝1的左、下顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k. (例2) 【解答】 由题设知，a＝2，b＝，故M(－2,0)，N(0，－)，所以线段MN的中点坐标为.由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过原点，所以k＝. 因为P，A，B都在椭圆＋＝1上，所以＋＝1，＋＝1，两式相减得kPB·kAB＝＝－. 设直线PB，AB的斜率分别为k1，k2.因为点C在直线AB上，所以k2＝＝＝，从而kk1＝2 k1k2＝－×2＝－1，因此PA⊥PB. 1. 椭圆方程中有关e2－1＝－的结论： (1) 已知AB是椭圆＋＝1(a>b>0)的不平行于对称轴的弦，M(x0，y0)为AB的中点，则kOM·kAB＝－，即kAB＝－. (2) 已知椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B两点的任一点，则kPA·kPB＝－. 2. 双曲线方程中有关e2－1＝的结论： (1) 已知AB是双曲线－＝1(a>0，b>0)的不平行于对称轴的弦，M(x0，y0)为AB的中点，则kOM·kAB＝，即kAB＝. (2) 已知双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，过原点的直线交双曲线于A，B两点，P是双曲线上异于A，B两点的任一点，则kPA·kPB＝. 变式 　已知双曲线x2－＝1，直线l的斜率为－2，与双曲线交于A，B两点，若在双曲线上存在异于A，B的一点C，使得直线AB，BC，AC的斜率满足＋＋＝3，且D，E，H分别为AB，BC，AC的中点，则kOE＋kOH等于(　 　) 【解析】 由题意得＋＋＝＋＋＝3，所以＋＝. 因为kBCkOE＝，所以kBCkOE＝2，即kOE＝. 同理得kOH＝，所以kOE＋kOH＝＋＝2＝2×＝7. 已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的