第8章 第44讲　第3课时　圆锥曲线中的定值与定点问题-【南方凤凰台】2024高考数学（基础版）一轮复习导学案 全国（新教材新高考）课件

第八章 解析几何 第44讲　圆锥曲线的综合问题 第3课时　圆锥曲线中的定值与定点问题 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 数学 基础版 1 研题型·融会贯通 2 1 圆锥曲线中的定值问题 (1) 求双曲线C的标准方程． 举题说法 研题型 · 融会贯通 研题型 · 融会贯通 (2) 若P，Q是双曲线C上的两点，且P，Q关于原点对称，M是双曲线C上异于P，Q的点．若直线MP和直线MQ的斜率均存在，则kMP·kMQ是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 研题型 · 融会贯通 2 圆锥曲线中的定点问题 (1) 求椭圆E的方程； 研题型 · 融会贯通 【解答】 由题知A(－2,0)，B(2,0)，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(4，t)． (2) 过点M作垂直于x轴的直线l，P为l上的一个动点，PA与椭圆E交于点C，PB与椭圆E交于点D，求证：直线CD过定点． 研题型 · 融会贯通 代入①式得(12＋m2)(n2－4)＋m(n＋2)(－2mn)＋(n＋2)2(m2＋4)＝0，所以n2＋n－2＝0，解得n＝－2(舍去)或n＝1，所以CD：x＝my＋1，即直线CD过定点(1,0)．  若t＝0，则直线CD的方程为y＝0，过定点(1,0)．  综上可知，直线CD过定点(1,0)． 研题型 · 融会贯通 求解直线过定点问题常用的方法： (1) “特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方 向、有目的的一般性证明； (2) “一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； (3) 求证直线过定点(x0，y0)，常利用直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)或截距式y＝kx＋b来证明． 研题型 · 融会贯通 【解答】 由已知可得，|PN|＝|PM|，即点P到定点N的距离等于它到直线l1的距离，故点P的轨迹是以N为焦点，l1为准线的抛物线，所以曲线C的方程为y2＝8x. 　 (2022·汕尾期末)已知点M为直线l1：x＝－2上的动点，N(2,0)，过M作直线l1的垂线l，l交线段MN的垂直平分线于点P，记点P的轨迹为C. (1) 求曲线C的方程． 研题型 · 融会贯通 研题型 · 融会贯通 (1) 求m的值； 点击对应数字即可跳转到对应题目 1 随堂内化 研题型 · 融会贯通 (2) 已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0，l与C交于两个不同的点M，N，M关于x轴的对称点为M′，F为C的右焦点，若M′，F，N三点共线，求证：直线l经过x轴上的一个定点． 点击对应数字即可跳转到对应题目 1 研题型 · 融会贯通 点击对应数字即可跳转到对应题目 1 研题型 · 融会贯通 点击对应数字即可跳转到对应题目 1 研题型 · 融会贯通 谢谢观赏 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 数学 基础版 例1　已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，过双曲线C的右焦点F作渐近线的垂线，垂足为N，且△FON(O为坐标原点)的面积为. 【解答】 双曲线的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，所以F(c,0)到渐近线的距离为＝＝b， 所以△FON的面积为|NF|·|ON|＝b·＝ab＝，即ab＝2. 由e＝＝＝，可知b＝a，解得a＝2，b＝，所以双曲线C的标准方程为－＝1. 【解答】 kMP·kMQ是定值. 理由如下：设P(x1，y1)，M(x0，y0)，则Q(－x1，－y1)，x≠x，所以－＝1，－＝1， 两式相减可得＝，所以kMP·kMQ＝·＝，故kMP·kMQ是定值. 例2　(2022·鄂州期末)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)，A，B分别为椭圆E的左、右顶点．点M(4,0)，O为坐标原点，椭圆的长轴长等于|OM|，离心率为. 【解答】 由题意可知2a＝|OM|＝4，所以a＝2.又e＝，所以c＝，b＝1，所以椭圆E的方程为＋y2＝1. 若t≠0，设CD的方程为x＝my＋n，由题可知－2<n<2.PA：y＝(x＋2)，所以y1＝(x1＋2)，PB：y＝(x－2)，所以y2＝(x2－2)，消去t得3y1(x2－2)＝y2(x1＋2)． 又＋y＝1，所以y＝，则12y1y2＝－(x1＋2)·(x2＋2)，即(12＋m2)y1y2＋m(n＋2)(y1＋y2)＋(n＋2)2＝0①. 联立⇒(m2＋4)y2＋2mny＋n2－4＝0，Δ＝16(m2－n2＋4)>0, 则y1y2＝，y1＋y2＝. 变式 (2) 设O是坐标原点，A，B是曲线C上的两个动点，且·＝－16，试问：直线AB是否过定点？若不过定