第8章 第44讲　第1课时　圆锥曲线中的求值与证明问题-【南方凤凰台】2024高考数学（基础版）一轮复习导学案 全国（新教材新高考）课件

第八章 解析几何 第44讲　圆锥曲线的综合问题 第1课时　圆锥曲线中的求值与证明问题 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 数学 基础版 1 研题型·融会贯通 2 1 圆锥曲线中的求值问题 举题说法 研题型 · 融会贯通 研题型 · 融会贯通 (2) 若|PA|＝3|QF|，求|TF|2的值． 研题型 · 融会贯通 利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： (1) 设直线方程，设交点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)； (2) 联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x(或y)的一元二次方程，计算Δ； (3) 列出韦达定理； (4) 将所求问题或题中的关系转化为x1＋x2，x1x2(或y1＋y2，y1y2)的形式； (5) 代入韦达定理求解． 研题型 · 融会贯通 2 圆锥曲线中的证明问题 研题型 · 融会贯通 (2) 设A1，A2分别为椭圆C的左、右顶点，直线A1M，A2N分别与直线l2：x＝1交于P，Q两点，求证：四边形OPA2Q为菱形． 研题型 · 融会贯通 若四边形OPA2Q为菱形，则对角线相互垂直且平分，下面证yQ＋yP＝0： 研题型 · 融会贯通 【解答】 由对称性可知交点坐标为(1,1)，(－1,1)，代入抛物线方程可得2p＝ 1，所以抛物线的方程为x2＝y. 　(2022·汕头二模)在平面直角坐标系xOy中，已知圆G：x2＋(y－1)2＝1与抛物线C：x2＝2py(p>0)交于点M，N(异于原点O)，MN恰为该圆的直径，过点E(0,2)作直线交抛物线C于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线交于点P. (1) 求证：点P的纵坐标为定值； 因为直线AB过点E(0,2)，所以－x1x2＝2，所以x1x2＝－2①. 研题型 · 融会贯通 研题型 · 融会贯通 (2) 若F是抛物线C的焦点，求证：∠PFA＝∠PFB.(提示：用向量表示两个角) 研题型 · 融会贯通 (1) 求双曲线C的标准方程； 点击对应数字即可跳转到对应题目 1 随堂内化 研题型 · 融会贯通 点击对应数字即可跳转到对应题目 1 研题型 · 融会贯通 点击对应数字即可跳转到对应题目 1 研题型 · 融会贯通 点击对应数字即可跳转到对应题目 1 研题型 · 融会贯通 谢谢观赏 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 数学 基础版 例1　(2022·福州检测)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：－＝1的右焦点为F，T为直线l：x＝1上一点，过点F作TF的垂线分别交C的左、右两支于P，Q两点，交l于点A. (1) 求证：直线OT平分线段PQ； 【解答】 由题意知xF＝＝3，即F(3,0)，设T(1,2t)，则直线PQ的方程为x＝ty＋3. 由得(2t2－1)y2＋12ty＋12＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则故t2≠. 由韦达定理可得y1＋y2＝－，y1y2＝，所以x1＋x2＝t(y1＋y2)＋6＝ －. 又直线PQ分别交C的左、右两支于P，Q两点，则x1x2＝(ty1＋3)(ty2＋3)＝t2y1y2＋3t(y1＋y2)＋9＝－<0，故t2>， 所以PQ的中点为N，所以kON＝2t＝kOT，故O，T，N三点共线，即直线OT平分线段PQ. 【解答】 由|PA|＝3|QF|得＝3，则1－x1＝3(3－x2)，即－x1＋3x2＝8，所以(x1＋x2)＋8＝4x2①，3(x1＋x2)－8＝4x1②， ①×②得3(x1＋x2)2＋16(x1＋x2)－64＝16x1x2，所以3×－16×－64＝－16×，解得t2＝或t2＝(舍去)，此时，|TF|2＝4＋4t2＝12＋3. 例2　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，点F(1,0)为椭圆的右焦点，过点F且斜率不为0的直线l1交椭圆C于M，N两点，当l1与x轴垂直时，|MN|＝3. (1) 求椭圆C的标准方程； 【解答】 由题可知c＝1.当l1与x轴垂直时，不妨设M的坐标为，所以解得a＝2，b＝，所以椭圆C的标准方程为＋＝1. 【解答】设l1的方程为x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立消去x得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，易知Δ>0恒成立，由韦达定理得y1＋y2＝，y1y2＝， 由直线A1M的斜率为kA1M＝，得直线A1M的方程为y＝(x＋2)，当x＝1时，yP＝. 由直线A2N的斜率为kA2N＝，得直线A2N的方程为y＝(x－2)，当x＝1时，yQ＝. 因为yQ＋yP＝＋＝＝，代入韦达定理得2my1y2－3(y1＋y2)＝2m·－3＝＝0，所以|PF|＝|QF|，即PQ与OA2相互垂直且平分，所以四边形OPA2Q为菱形． 变式 设A(x1，x)，B(x2，x)，