第8章 备选微专题　阿基米德三角形-【南方凤凰台】2024高考数学（基础版）一轮复习导学案 全国（新教材新高考）课件

第八章 解析几何 备选微专题　阿基米德三角形 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 数学 基础版 1 1 过弦的端点分别作切线问题 (1) 求曲线C的方程； 抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形被称为阿基米德三角形． 【解答】 由题意，设直线AB的方程为y＝kx＋1，代入x2＝4y，得x2－4kx－4＝0.   2 从定直线上的点引两条切线问题 例2　如图，设抛物线的方程为x2＝2py(p>0)，M为直线y＝－2p上任意一点，过点M引抛物线的切线，切点分别为A，B. (例2) (1) 求证：A，B，M三点的横坐标成等差数列； 　已知抛物线D：x2＝4y，过x轴上一点E(不同于原点)的直线l与抛物线D交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，与y轴交于点C. (2) 若E(4,0)，过A，B分别作抛物线D的切线，两切线交于点M，证明：点M在定直线上，并求此定直线的方程． 1. 过抛物线上的一点作切线： (1) 过抛物线y2＝2px上一点M(x0，y0)的切线方程为y0y＝p(x＋x0)； (2) 过抛物线y2＝－2px上一点M(x0，y0)的切线方程为y0y＝－p(x＋x0)； (3) 过抛物线x2＝2py上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＝p(y＋y0)； (4) 过抛物线x2＝－2py上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＝－p(y＋y0)． 2. 如图，已知Q是抛物线x2＝2py准线上任意一点，过Q作抛物线的切线QA，QB分别交抛物线于A，B两点，M(x0，y0)为 AB的中点，则： (1) 若AB过焦点F，则AB的端点的两条切线的交点Q在其准线上； (2) 阿基米德三角形底边上的中线平行于坐标轴，即xQ＝xM； (3) AB过抛物线的焦点F； (4) AQ⊥BQ； (5) 阿基米德三角形面积的最小值为p2. 谢谢观赏 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 数学 基础版 例1　(2022·唐山三模)在平面直角坐标系xOy中，动圆M与圆N：x2＋2＝相内切，且与直线y＝－1相切，记动圆圆心M的轨迹为曲线C. 【解答】 设动圆圆心M(x，y)，半径为r，由题意知|MN|＝r－，r＝y＋1，于是得＝y＋，化简得x2＝2y，所以曲线C的方程为x2＝2y. (2) 过点E(0,1)的直线l与曲线C交于A，B两点，分别以A，B为切点作曲线C的切线l1，l2，直线l1，l2交于点P.若(＋)·＝0，求直线l的方程． 【解答】 由题意知，直线l的斜率存在，设l的方程为y＝kx＋1，A，B，由消去y并整理得x2－2kx－2＝0，Δ＝4k2＋8>0，且x1＋x2＝2k，x1x2＝－2. 直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为y－x＝m(x－x1)，由消去y并整理得x2－2mx＋2mx1－x＝0，则Δ＝4m2－4(2mx1－x)＝0，解得m＝x1，切线l1的方程为y＝x1x－x，同理可得，切线l2的方程为y＝x2x－x， 由解得即点P的坐标为，则＝，＝，＝. 因为(＋)·＝0，所以·＋·＝0，即＋＋＋＝0，化简得3＋2x1x2＋x＝0，因此，x＝1，于是得点B或B，直线l的斜率k＝±，所以直线l的方程为x－2y＋2＝0或x＋2y－2＝0. 从而M，所以kFM＝，故kFM·k＝·＝－1，即⊥，所以·＝0，为定值． 变式 　已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A，B是抛物线上的两动点，AB所在直线经过抛物线的焦点F，过A，B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.求证：·为定值． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Δ＝16k2＋16>0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，又y′＝，所以切线的方程分别为MA：y＝x－，MB：y＝x－， 【解答】 由题意设A，B，x1<x2，M(x0，－2p)．由x2＝2py得y＝，求导得y′＝，所以kMA＝，kMB＝. 因此直线MA的方程为y＋2p＝(x－x0)，直线MB的方程为y＋2p＝(x－x0)，所以＋2p＝(x1－x0)①， ＋2p＝(x2－x0)②， 由①②得＝x1＋x2－x0，因此x0＝，即2x0＝x1＋x2，所以A，M，B三点的横坐标成等差数列． 故由弦长公式得|AB|＝＝. 又|AB|＝4，所以p＝1或p＝2，因此所求抛物线的方程为x2＝2y或x2＝4y. (2) 当点M的坐标为(2，－2p)时，|AB|＝4，求此时抛物线的方程． 【解答】由(1)知，当x0＝2时，将其代入①，②并整理得x－4x1－4p2＝0，x－4x2－4p2＝0，所以x1，x2是方程x2－4x－4p2＝0的两个根，Δ＝16＋16p2>0，因此x1＋x2＝4，x1x2＝－4p2. 又kAB＝＝＝＝， 设