第7章 微专题14　空间几何体的内切球-【南方凤凰台】2024高考数学（基础版）一轮复习导学案 全国（新教材新高考）课件

第七章 立体几何 微专题14　空间几何体的内切球 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 数学 基础版 1 1 柱体与其内切球 例1　如图，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切． (例1) 【解答】 如图，球心O1和O2在AC上，过O1，O2分别作AD，BC的垂线，垂足为E，F，设O1的半径为r，O2的半径为R. (例1) (1) 求两球半径之和； (2) 当两球的半径分别为多少时，两球体积之和最小？ 【解析】 如图，连接AC1. (变式) 在直三棱柱A1B1C1－ABC中，已知A1B1＝3，B1C1＝4，A1C1＝5，AA1＝2，则其外接球与内切球的表面积之比为(　 　) A 【解析】 如图，取AB的中点M，CD的中点N，连接PM，PN，MN. (例2) 2 锥体与其内切球 由△PAB是正三角形，得PM⊥AB，又底面ABCD是矩形，所以MN⊥AB.而平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PM⊂平面PAB，MN⊂平面 ABCD，因此PM⊥平面ABCD，MN⊥平面PAB. 又AD∥MN∥BC，则AD⊥平面PAB，BC⊥平面PAB，所以AD⊥PA，BC⊥PB.因为PM∩MN＝M，PM，MN⊂平面PMN，所以AB⊥平面PMN. 又PN⊂平面PMN，所以AB⊥PN，而AB∥CD，则CD⊥PN，显然△PAD≌△PBC，由球的对称性及四棱锥P－ABCD的特征知，平面PMN截四棱锥P－ABCD的内切球O得截面大圆，此圆是Rt△PMN的内切圆，分别切MN，PM于点 E，F，且四边形OEMF为正方形． 【解答】 如图，球O是正三棱锥P－ABC的内切球，点O到正三棱锥四个面的距离都是球的半径R，PH是正三棱锥的高，即PH＝1. (变式1) 1 2 1. 解决几何体的内切球问题，应先作出一个适当的截面(一般作出多面体的对角面所在的截面)，这个截面应包括几何体与球的主要元素，且能反映出几何体与球的位置关系和数量关系． 2. 球的内切问题(等体积法)．例如：如图，在四棱锥P－ABCD中，内切球为球O，求球O的半径r. 方法如下：VP－ABCD＝VO－ABCD＋VO－PBC＋VO－PCD＋VO－PAD＋VO－PAB， 3. 正多面体内切球的球心与其外接球的球心重合，内切球的半径为球心到多面体任一面的距离． 4. 正棱锥的内切球与外接球的球心都在其高线上，但不一定重合． 谢谢观赏 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 数学 基础版 由AB＝1，AC＝，得AO1＝r，CO2＝R，所以r＋R＋(r＋R)＝，所以R＋r＝＝. 【解答】 设两球体积之和为V，则V＝π(R3＋r3)＝π(r＋R)(R2－Rr＋r2) ＝π[(R＋r)2－3rR] ＝π＝π， 当R＝时，V有最小值，故当R＝r＝时，两球体积之和最小． 变式 A. B. C. D. 29 由底面三角形的三边长知，底面三角形为直角三角形，内切球的半径r＝＝1，分别取AC，A1C1的中点D，E，则外接球的球心是DE的中点O. 由A1C1＝5，AA1＝2，得AC1＝，所以外接球的半径R＝OA＝，所以＝＝. 8 例2　(2022·连云港预测)在四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD是矩形，侧面PAB是等边三角形，侧面PAB⊥底面ABCD，AB＝2，若四棱锥P－ABCD存在内切球，则内切球的体积为_______，此时四棱锥P－ABCD的体积为_________. 令AD＝x，而PM＝3，PN＝，则内切球的半径r＝ME＝(x＋3－)． 四棱锥P－ABCD的表面积为S＝S△PAB＋2S△PAD＋S矩形ABCD＋S△PCD＝3＋4x＋·，由VP－ABCD＝rS＝S矩形ABCD·PM，得(x＋3－)·(3＋4x＋)＝2x·3，整理得6x·(3＋4x＋)＝12x·(x＋3＋)，即2x－3＝，解得x＝4，因此，r＝1， 所以内切球的体积V＝r3＝，四棱锥P－ABCD的体积VP－ABCD＝8. 变式 已知正三棱锥的高为1，底面边长为2，正三棱锥内有一个球与其四个面相切，求此球的表面积与体积． 设E是BC边的中点，H在AE上．因为△ABC的边长为2，所以HE＝×2＝，所以PE＝，于是S△PAB＝S△PAC＝S△PBC＝BC·PE＝3，S△ABC＝×(2)2＝6. 由等体积法知，VP－ABC＝VO－PAB＋VO－PAC＋VO－PBC＋VO－ABC，所以×6×1＝×3×R×3＋×6×R，解得R＝＝－2， 所以S球＝4πR2＝4π(－2)2＝8(5－2)π，V球＝πR3＝π(－2)3. 变式 　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为m的正方形，P