第7章 微专题13　空间几何体的外接球-【南方凤凰台】2024高考数学（基础版）一轮复习导学案 全国（新教材新高考）课件

第七章 立体几何 微专题13　空间几何体的外接球 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 数学 基础版 1 1 能还原成长方体的锥体的外接球 A (2) 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P－ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为(　 　) A. 8π B. 12π C. 20π D. 24π 【解析】 如图，连接AC，BD，交于点O，连接PO，则PO⊥平面ABCD， 2 一般锥体的外接球 例2　(1) 已知正四棱锥P－ABCD的所有顶点都在球O的球面上，PA＝AB＝2，那么球O的表面积为(　 　) A. 2π　 B. 4π　 C. 8π　 D. 16π C 【解析】 如图，取BC的中点E，连接AE，DE，BD. (例2(2)) (2) 已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AB＝DC＝AD＝2，BC＝PA＝4，PA⊥平面ABCD，那么球O的体积为 (　 　) 设O为外接球的球心，由球的性质可知OE⊥平面ABCD，作OF⊥PA，垂足为F，所以四边形AEOF为矩形，OF＝AE＝2. 3 棱柱的外接球 例3　设直三棱柱ABC－A1B1C1的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积是40π，AB＝AC＝AA1，∠BAC＝120°，则此直三棱柱的高是________. 2. 补形法(补长方体或正方体)： (1) 墙角模型(三条线两两垂直) 题设：三条棱两两垂直； (2) 对棱相等模型(补形为长方体) 题设：在三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径(AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD)． 3. 单面定球心法(“定＋算”)： (2) 过外心O1作(找)底面ABC的垂线，如图，作PO1⊥底面ABC，则球心O一定在直线(注意不一定在线段PO1上)PO1上； 4. 双面定球心法(两次单面定球心) 【例】 如图，在三棱锥P－ABC中： (1) 选定底面ABC，定△ABC外接圆的圆心O1； (2) 选定平面PAB，定△PAB外接圆的圆心O2； (3) 分别过O1作底面ABC的垂线，过O2作平面PAB的垂线，两垂线交点即为外接球的球心O. 谢谢观赏 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 数学 基础版 因为三条侧棱两两垂直，所以以a，b，c为边长的长方体的体对角线长就是三棱锥的外接球的直径长，所以R＝＝，故所求外接球的体积为·3＝π. 例1　(1) 在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，若△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，则三棱锥A－BCD的外接球的体积为(　 　) A. π B. 2π C. 3π D. 4π 【解析】设AB，AC，AD的长度分别为a，b，c，由题意得解得 【解析】 如图，由于三棱锥P－ABC的四个面都为直角三角形，则△ABC 是直角三角形，且∠ABC＝，所以BC＝＝2. (例1(2)) 又PA⊥平面ABC，且△PAC是直角三角形，所以球O的直径为PC＝2R＝＝＝2，所以R＝，故球O的表面积为S＝4πR2＝20π. 且OA＝OB＝OC＝OD＝AC＝＝，OP＝＝＝，所以O是球心，其半径为r＝，所以球O的表面积为S＝4πr2＝8π. A. B. C. 16π D. 16π 因为AD∥BC且AD＝BC＝EC＝BE，所以四边形ADCE，四边形ABED均为平行四边形，所以AE＝DC，AB＝DE. 又DC＝BC，所以AE＝BC＝AB，所以AE＝DE＝BE＝EC，所以E为四边形ABCD外接圆的圆心． 设AF＝x，OP＝OA＝R，则4＋(4－x)2＝4＋x2，解得x＝2，所以R＝＝2，所以球O的体积为V＝πR3＝. 【解析】 设AB＝AC＝AA1＝a，球的半径为R，则△BAC外接圆的半径为·＝a. 因为4πR2＝40π，所以R2＝10，所以R2＝2＋a2＝10，解得a＝2，即此直三棱柱的高是2. 2 1. 公式法：正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，即，找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R)2＝a2＋b2＋c2，即2R＝，求出R. 步骤：(1) 定一个面找外接圆圆心，如图，在三棱锥P－ABC中，选中底面ABC，确定其外接圆圆心O1(正三角形的外心就是中心，直角三角形的外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心，即)； (3) 计算求半径R，在直线PO1上任取一点O，如图，则OP＝OA＝R，利用公式OA2＝O1A2＋OO可计算出球O的半径R. $