第7章 第36讲　空间直角坐标系与空间向量-【南方凤凰台】2024高考数学（基础版）一轮复习导学案 全国（新教材新高考）课件

第七章 立体几何 第36讲　空间直角坐标系与空间向量 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 数学 基础版 1 链教材·夯基固本 1. (人A选必一P22练习1改)已知a＝(－3，2,5)，b＝(1,5，－1)，则3a－b＝__________________________, a·b＝______.　 2. (人A选必一P22练习2)已知a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)，且a⊥b，则x的值为______. 【解析】 因为a＝(－3,2,5)，b＝(1,5，－1)，所以3a－b＝(－9,6,15)－(1,5，－1)＝(－10,1,16)，a·b＝－3＋10－5＝2. 激活思维 (－10,1,16) 2 链教材 · 夯基固本 3. (人A选必一P22练习3改)已知点M在z轴上，且点M到点A(1,0,2)与到点B(1，－3，1)的距离相等，则点M的坐标是(　 　) A. (0,0,3) B. (0,0,2) C. (0,0，－2) D. (0,0，－3) D 链教材 · 夯基固本 链教材 · 夯基固本 链教材 · 夯基固本 1. 空间向量中的有关定理 (1) 共线向量定理 空间中两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得____________. (2) 共面向量定理 共面向量定理的向量表达式：__________________，其中x，y∈R，a，b为不共线的向量． (3) 空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间中任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得________________________，{a，b，c}叫做空间中的____________. 基础回归 a＝λb p＝xa＋yb p＝xa＋yb＋zc 一组基底 链教材 · 夯基固本 2. 空间向量的数量积 链教材 · 夯基固本 3. 空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． a1b1＋a2b2＋a3b3 a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 链教材 · 夯基固本 4. 两个重要向量 直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有________个 平面的法向量 直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有________个，它们是共线向量 无数 无数 链教材 · 夯基固本 5. 空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1＝λn2 l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m⇔m·n＝0 l⊥α n∥m⇔n＝λm 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n＝λm α⊥β n⊥m⇔n·m＝0 链教材 · 夯基固本 6. 常用结论 链教材 · 夯基固本 研题型·融会贯通 13 1 空间向量的线性运算 举题说法 研题型 · 融会贯通 用已知向量表示未知向量的解题策略： (1) 要结合图形，以图形为指导是解题的关键； (2) 要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义； (3) 三角形法则、向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立． 研题型 · 融会贯通 研题型 · 融会贯通 研题型 · 融会贯通 2 空间向量的数量积的运算及应用 研题型 · 融会贯通 研题型 · 融会贯通 利用向量解决立体几何问题时，也可以将几何问题转化成向量问题，或通过建立空间直角坐标系利用向量的坐标进行求解，然后代入向量数量积公式进行相关计算和证明． 研题型 · 融会贯通 　(人A选必一P14练习2)如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则BC′与CA′所成角的余弦值为______. (变式) 研题型 · 融会贯通 研题型 · 融会贯通 3 利用空间向量证明平行问题 例3　(2022·江苏百校联考)已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，E，F分别为AC和AB上的点，且AE＝1，EF∥BC，如图(1)．沿EF将△AEF折起使平面AEF⊥平面BCEF，连接AC，AB，如图(2)．已知M为棱AC上一点，试确定M的位置，使EM∥平面ABF. 研题型 · 融会贯通 研题型 · 融会贯通 研题型 · 融会贯通 证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为 零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量