第7章 第35讲　直线、平面垂直的判定与性质-【南方凤凰台】2024高考数学（基础版）一轮复习导学案 全国（新教材新高考）课件

第七章 立体几何 第35讲　直线、平面垂直的判定与性质 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 数学 基础版 1 链教材·夯基固本 1. (人A 必二P148练习2改) 如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′的各条棱所在直线中，与直线AB和A′D′都垂直的直线有______条；与直线AB和A′D′都垂直且相交的直线是直线__________. 　　　　　(第1题) 【解析】 与直线AB和A′D′都垂直的直线有AA′，BB′，CC′，DD′，共4条．与直线AB和A′D′都垂直且相交的直线是直线AA′. 激活思维 4 AA′ 链教材 · 夯基固本 2. (人A 必二P152练习4)过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC. (1) 若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的______心． 【解析】如图，因为PO⊥α，所以PO⊥AO，PO⊥BO，故∠POA＝∠POB＝90°. 又PA＝PB，PO＝PO，所以△POA≌△POB，可得OA＝OB，同理可得OA＝OC，所以点O是△ABC的外心． (第2题) 外 链教材 · 夯基固本 【解析】由(1)可得点O是△ABC的外心．因为∠C＝90°，在直角三角形中，斜边的中线是斜边的一半，所以点O为斜边的中点，即为AB边的中点． (2) 若PA＝PB＝PC，∠C＝90°，则点O是AB边的________. 【解析】因为PA⊥PB，PB⊥PC，且PA∩PC＝P，PA，PC⊂平面PAC，所以PB⊥平面PAC，所以PB⊥AC. 因为PO⊥α，所以PO⊥AC.又PB∩PO＝P，PB，PO⊂平面PBO，所以AC⊥平面PBO，所以BO⊥AC，同理可得CO⊥AB，AO⊥BC，故点O是△ABC的垂心． (3) 若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，垂足都为P，则点O是△ABC的______心． 中点 垂 链教材 · 夯基固本 3. (人A 必二P162练习2)若平面α⊥平面β，且α∩β＝l，则下列命题中真命题的个数是(　 　) ①平面α内的任一条直线必垂直于平面β； ②平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线； ③平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线； ④过平面α内任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 链教材 · 夯基固本 【解析】 ①在平面α内取与l平行的直线，其不垂直于平面β，故①是假命题； ②当在平面α内取平行于交线l的直线时，该直线与平面β平行，故②是假命题； ③取平面β内无数条与交线l垂直的直线，平面α内的已知直线与这无数条直线垂直，故③是真命题； ④若α内的任意一点取在交线l上，所作垂线可能不在平面α内，所以不一定垂直于平面β，故④是假命题. 链教材 · 夯基固本 4. (人A 必二P162练习1改)(多选)下列选项正确的是(　　　) A. 垂直于同一条直线的两条直线平行 B. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β C. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β D. 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β 链教材 · 夯基固本 【解析】 对于A，垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交、异面，故A错误； 对于B，若平面α⊥平面β，则两平面一定相交，设交线为直线a，显然a⊂α，但直线a与平面β不垂直，故B错误； 对于C，平面α⊥平面β，若它们的交线记为直线l，因此直线l⊂平面β，在平面α内一定有直线m∥l，则直线m∥平面β，故C正确； 对于D，若平面α内存在直线垂直于平面β，则根据面面垂直的判定定理可知α⊥β，所以如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β，故D正确． 链教材 · 夯基固本 5. (人A 必二P155练习1)已知直线a，b和平面α，若a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系是______________. 【解析】 若b⊂α，a⊥α，则a⊥b；若b∥α，过b作平面β，使得α∩β＝c，由a⊥α，c⊂α，得a⊥c，又b∥c，则a⊥b. b∥α或b⊂α 链教材 · 夯基固本 1. 直线与平面垂直 (1) 直线与平面垂直的定义： 直线l与平面α内的________________都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． 基础回归 任意一条直线 链教材 · 夯基固本 两条相交直线都垂直 链教材 · 夯基固本 2. 直线和平面所成的角 (1) 定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的________叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角．   (2) 取值范围：________. 锐角 链