第3章 备选微专题　极值点偏移问题-【南方凤凰台】2024高考数学（基础版）一轮复习导学案 全国（新教材新高考）课件

第三章 一元函数的导数及其应用 备选微专题　极值点偏移问题 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 数学 基础版 1 1 对称化构造法解决极值点偏移问题 例1　设函数f(x)＝2lnx－x2＋1，若在f(x)的定义域内存在两实数x1，x2满足x1<x2且f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>2. 又f(x1)＝f(x2)，所以f(x2)<f(2－x1)．因为x1∈(0,1)，所以2－x1∈(1,2)，又x2>1且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以x2>2－x1，即x1＋x2>2. 【解答】 f′(x)＝lnx，当x>1时，f′(x)>0，当0<x<1时，f′(x)<0，所以f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，在区间(0,1)上单调递减． 已知函数f(x)＝xlnx－x＋1，若方程f(x)＝b有两个不相等的实数根x1，x2，求证：x1x2<1. 【解答】 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝alnx＋a＝a(lnx＋1)． 2 比值代换法解决极值点偏移问题 当a>0时，令f′(x)>0，得x∈(0，a)，令f′(x)<0，得x∈(a，＋∞)，故f(x)在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减． 综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当a>0时，f(x) 在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减． 已知a是实数，函数f(x)＝alnx－x. (1) 讨论f(x)的单调性； 【解答】 由(1)可知，要想f(x)有两个相异的零点x1，x2，则a>0. 因为f(x1)＝f(x2)＝0，所以alnx1－x1＝0，alnx2－x2＝0，x1－x2＝a(lnx1－lnx2)． (2) 若f(x)有两个相异的零点x1，x2且x1>x2>0，求证：x1·x2>e2. 极值点偏移问题的一般解法： 1. 对称化构造法： 主要用来解决与两个极值点之和(积)相关的不等式的证明问题．其解题要点如下： (1) 定函数(极值点为x0)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点x0. 谢谢观赏 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 数学 基础版 极值点偏移的定义：对于函数y＝f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点x0，方程f(x)的解分别为x1，x2，且a<x1<x2<b.(1) 若≠x0，则称函数y＝f(x)在区间(x1，x2)上极值点x0偏移；(2) 若>x0，则函数y＝f(x)在区间(x1，x2)上极值点x0左偏，简称极值点x0左偏；(3) 若<x0，则函数y＝f(x)在区间(x1，x2)上极值点x0右偏，简称极值点x0右偏． 【解答】 f′(x)＝－2x＝＝，当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以由x1<x2且f(x1)＝f(x2)，知0<x1<1<x2. 令F(x)＝f(x)－f(2－x)，x∈(0,1)，则F′(x)＝－·(2－x)′＝>0，所以F(x)在(0,1)上单调递增，所以F(x)<F(1)＝0，即f(x)<f(2－x)，所以f(x1)<f(2－x1)． 变式 不妨设x1<x2，则0<x1<1<x2，要证x1x2<1，只需证1<x2<.因为f(x)在区间(1， ＋∞)上单调递增，所以只需证f(x2)<f.因为f(x1)＝f(x2)，所以只需证f(x1)<f. 设F(x)＝f(x)－f(0<x<1)，则F′(x)＝lnx－lnx＝lnx>0，所以F(x)在区间(0,1)上单调递增，所以F(x)<F(1)＝0，所以f(x)－f<0，即f(x1)<f成立，所以x1x2<1. 例2　已知函数f(x)＝axlnx＋a(a≠0)． (1) 讨论f(x)的单调性； ①当a>0时，令f′(x)<0，得0<x<，则f(x)在上单调递减；令f′(x)>0，得x>，则f(x)在上单调递增． ②当a<0时，令f′(x)<0，得x>，则f(x)在上单调递减；令f′(x)>0，得0<x<，则f(x)在上单调递增． 综上所述，当a>0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增；当a<0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增． 令t＝，则x1＋x2＝·＋·＝·. (2) 若函数f(x)有两个零点 x1，x2，且x1<x2，求证：x1＋x2>. 【解答】 因为x1，x2为f(x)的两个零点，所以lnx1＋＝0，lnx2＋＝0， 两式相减，可得lnx1－lnx2＋－＝0，即ln＝·，即x1x2＝·，因此x1＝·，x2＝·. 令h(t)＝t