第2章 微专题2　抽象函数性质的应用-【南方凤凰台】2024高考数学（基础版）一轮复习导学案 全国（新教材新高考）课件

第二章 基本初等函数 微专题2　抽象函数性质的应用 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 高考一轮复习 南方凤凰台 数学 基础版 1 1 函数的奇偶性与单调性相结合 【解析】 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以g(x)＝xf(x)为定义在R上的偶函数． 【解析】 因为f(x)是定义在R上的奇函数，且在(－∞，0]上为增函数，所以f(x)在R上为增函数． 又因为f(－1)＝－2，所以f(1)＝2，故f(2x－3)≤2＝f(1)，即2x－3≤1，解得x≤2. (1) 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在(－∞，0]上为增函数．若f(－1)＝－2，则满足f(2x－3)≤2的x的取值范围是______________. (－∞，2] A. (－3,1) B. (－3，－1)∪(－1,1) C. (－∞，－1)∪(－1,1) D. (－∞，－3)∪(1，＋∞) B 因为x1－x2>0，x1x2>0，所以x1f(x1)－x2f(x2)<0，即x1f(x1)<x2f(x2)， 设g(x)＝xf(x)，则g(x)在(0，＋∞)上单调递减， 而g(x＋1)＝(x＋1)f(x＋1)>4＝2f(2)＝g(2)，则0<x＋1<2，解得－1<x<1. 因为f(x)为R上的奇函数，所以g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，则g(x)为R上的偶函数，故g(x)在(－∞，0)上单调递增，g(x＋1)＝(x＋1)f(x＋1)>4＝g(－2)，则－2<x＋1<0，解得－3<x<－1. 综上，原不等式的解集为(－3，－1)∪(－1,1)． 【解析】 因为f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，令x＝1，y＝0，可得2f(1)＝f(1)f(0)，所以f(0)＝2. 令x＝0，可得f(y)＋f(－y)＝2f(y)，即f(y)＝f(－y)，所以函数f(x)为偶函数． 令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)＝f(x)，即有f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)，从而可知f(x＋2)＝－f(x－1)，f(x－1)＝－f(x－4)，故f(x＋2)＝f(x－4)，即f(x)＝f(x＋6)，所以函数f(x)的一个周期为6. 2 函数的奇偶性与周期性相结合 A. －3 B. －2 C. 0 D. 1 A 因为f(2)＝f(1)－f(0)＝1－2＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－1＝－2，f(4)＝f(－2)＝f(2)＝－1，f(5)＝f(－1)＝f(1)＝1，f(6)＝f(0)＝2，所以一个周期内的f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝0. 【解析】 由题设，f(x)是周期为4的奇函数，且f(1)＝2，则f(－2)＝f(－2＋4)＝f(2)＝－f(2)，即f(2)＝0，f(－1)＝f(－1＋4)＝f(3)＝－f(1)＝－2，f(0)＝f(0＋4)＝f(4)＝0， 所以f(1)＝f(1)＋f(2)＝2，f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0， 当n＝4k或n＝4k＋3，k∈N*时，f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝0； 当n＝4k＋1或n＝4k＋2，k∈N*时，f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝2. (2022·邯郸二模)(多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数，若f(x＋4)＝f(x)且f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(n)(n∈N*)的值可能为(　　) A. －2 B. 0 C. 2 D. 4 BC 【解析】 因为y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，所以g(2－x)＝g(x＋2)． 因为g(x)－f(x－4)＝7，所以g(x＋2)－f(x－2)＝7，即g(x＋2)＝7＋f(x－2)． 因为f(x)＋g(2－x)＝5，所以f(x)＋g(x＋2)＝5，代入得f(x)＋[7＋f(x－2)]＝5，即f(x)＋f(x－2)＝－2，所以f(3)＋f(5)＋…＋f(21)＝(－2)×5＝－10，f(4)＋f(6)＋…＋f(22)＝(－2)×5＝－10. 3 函数的奇偶性与对称性相结合 A. －21 B. －22 C. －23 D. －24 D 因为f(x)＋g(2－x)＝5，所以f(0)＋g(2)＝5，即f(0)＝1，所以f(2)＝－2－f(0)＝ －3. 因为g(x)－f(x－4)＝7，所以g(x＋4)－f(x)＝7.又因为f(x)＋g(2－x)＝5，联立得，g(2－x)＋g(x＋4)＝12，所以y＝g(x)的图象关于点(3,6)中心对称． 因为函数g(x)的定义域