专题03正方形的性质与判定（3个知识点8种题型1个易错点中考2种考法）-【帮课堂】2023-2024学年九年级数学上册同步学与练（北师大版）

专题03正方形的性质与判定（3个知识点8种题型1个易错点中考2种考法） 【目录】 倍速学习五种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1：正方形的定义 知识点2：正方形的性质（重难点） 知识点3：正方形的判定（重难点） 【方法二】 实例探索法 题型1：由正方形的性质求角的度数 题型2：由正方形的性质求线段的长度 题型3：由正方形的性质证明线段相等 题型4：由正方形的性质解决正方形的周长与面积问题 题型5：正方形的判定 题型6：正方形的性质与判定综合运用 题型7：与正方形有关的动态问题 题型8：与正方形有关的存在性问题 【方法三】 差异对比法 易错点1正方形的性质运用不正确导致出错 【方法四】 仿真实战法 考法1：正方形性质 考法2：正方形判定 【方法五】 成果评定法 【知识导图】 【倍速学习五种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1：正方形的定义 有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形 叫做正方形. 知识点2：正方形的性质 1.正方形即是矩形又是菱形，因而它具备两者所有的性质． 2.正方形四个角都是直角，四条边都相等. 3.正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角. 4.正方形是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心 知识点3：正方形的判定 1.从平行四边形出发：有一个内角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形。 2.从矩形出发：有一组邻边相等的矩形是正方形. 3.从菱形出发：有一个内角是直角的菱形是正方形. 例1.如果要证明平行四边形为正方形，那么我们需要在四边形是平行四边形的基础上，进一步证明（ ） A．AB=AD且AC⊥BD B．AB=AD且AC=BD C．∠A=∠B且AC=BD D．AC和BD互相垂直平分 【方法二】实例探索法 题型1：由正方形的性质求角的度数 例2.（1）如图（1），已知P正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则度数是 ； （2）如图（2），正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OB延长线上一点， CE=BD，∠ECB的度数是_______． A B C D E O （2） （1） 例3.正方形ABCD被两条分别与边AB、BC平行的线段EF、GH分割成4个小矩形，P 是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰好是矩形AGPE面积的2倍，求∠HAF的大小． A B C D E F G H P 题型2：由正方形的性质求线段的长度 例4.如图，已知有一块面积为1的正方形ABCD，M、N分别为AD、BC上的中点，将点C折到MN上，落在P点的位置，折痕为BQ，连结PQ． 求：（1） MP的长；（2）PQ的长． 题型3：由正方形的性质证明线段相等 例5.如图，正方形ABCD的对角线AC上截取CE=CD，作EF⊥AC交AD于点F．求证：AE=EF=FD． A B C D E F 例6.如图，已知E是正方形ABCD的边BC上的任意一点，BF⊥AE，垂足为G，交CD于点F．求证：AE=BF． A B C D E F G 例7.已知：Q为正方形ABCD的CD边的中点，P为CD上一点，且∠BAP=2∠QAD．求证：AP=PC+BC． A B C D P Q 例8.已知：在正方形ABCD中，M为AB的中点，MN⊥MD，BN平分∠CBE并交MN于N．求证：MD=MN． A B C D E M N G 题型4：由正方形的性质解决正方形的周长与面积问题 例9.已知：如图边长为的正方形的对角线、交于点，、分别为、上的点，且． 求证：（1）． （2）、分别在、延长线上，，四边形与正方形重合部分的面积等于． 题型5：正方形的判定 例10.如图所示，已知矩形ABCD的各内角平分线AQ、DF、BE、CH分别交BC、AD于点Q、F、E、H，试证明 它们组成的四边形MNPO是正方形． 题型6：正方形的性质与判定综合运用 例11.如图，在线段上取一点，使，以、为边在同侧作正方形和，在上取，在的延长线上取一点，使． 求证：四边形为正方形． 题型7：与正方形有关的动态问题 例12.如图（1）所示，四边形ABCD是由两个全等的等腰直角三角形斜边重合在一起组成的平面图形．如图（2）所示，点P是边BC上一点，PH⊥BC交BD于点H，连接AP交BD于点E，点F为DH中点，连接AF； （1）求证：四边形ABCD为正方形； （2）当点P在线段BC上运动时，∠PAF的大小是否会发生变化？若不变，请求出∠PAF的值；若变化，请说明理由； （3）求证：． 题型8：与正方形有关的探究问题 例13.如图四边形ABCD是正方形，点E、K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE＝BK＝AG．以线 段DE