专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法（讲+练）-备战2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法 【核心素养】 1.结合命题的真假判断、大小比较等，考查不等式的性质及其应用，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养． 2.考查二次函数的图象和性质，凸显直观想象、数学运算的核心素养． 3.结合“三个二次”间的关系，考查一元二次方程、一元二次不等式的解法，考查转化与化归能力，凸显数学抽象的核心素养． 4.以实际问题为背景，考查应用不等式性质、一元二次不等式、二次函数的图象和性质解决问题的能力，凸显数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养． 知识点一 实数的大小 (1)数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大. (2)对于任意两个实数a和b，如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b是负数，那么a<b；如果a－b等于零，那么a＝b. 知识点二 不等关系与不等式 我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些符号的式子，叫做不等式. 知识点三 不等式的性质 (1)性质1：如果a>b，那么b<a； 如果b<a，那么a>b. 即a>b⇔b<a. (2)性质2：如果a>b，b>c，那么a>c. 即a>b，b>c⇒a>c. (3)性质3：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)性质4：①如果a>b，c>0那么ac>bc. ②如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)性质5：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)性质6：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)性质7：如果a>b>0，那么an>bn，(n∈N，n≥2)． (8)性质8：如果a>b>0，那么>，(n∈N，n≥2)． 知识点四 一元二次不等式的概念及解法 (1)概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． (2)形式： ①ax2＋bx＋c>0(a≠0)； ②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)； ③ax2＋bx＋c<0(a≠0)； ④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． (3)一元二次不等式的解集的概念： 一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集. （4）解一元二次不等式的一般步骤 ①化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． ②判：计算对应方程的判别式． ③求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． ④写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． 知识点五 分式不等式的解法 定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x的多项式的不等式称为分式不等式. >0⇔f(x)g(x) >0，<0⇔f(x)·g(x)< 0. ≥0⇔ ⇔f(x)·g(x) >0或. ≤0⇔⇔f(x)·g(x) <0或 知识点六 绝对值不等式的解法 1．形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解． 2．形如|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式 (1)绝对值不等式|x|>a与|x|<a的解集 (2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c(c>0)，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c(c>0)． 知识点七 常用结论 1．倒数性质的几个必备结论 (1)a>b，ab>0⇒<. (2)a<0<b⇒<. (3)a>b>0,0<c<d⇒>. (4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. 2．两个重要不等式 若a>b>0，m>0，则 (1)<；>(b－m>0)． (2)>；<(b－m>0)． 3.如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立． 常考题型剖析 题型一：用不等式表示不等关系 【典例分析】 例1-1. 用一段长为30的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18,要求菜园的面积不小于216 ,靠墙的一边长为,其中的不等关系可用不等式(组)表示为________.  例1-2．（浙江高考真题）某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少至少达7000万元，则，x 的最小值_______ 【规律方法】 用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤： ①审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量．找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等． ②列不等式组：分析题意，找出已知量和待求量之间的约束条件，将各约束条件用不等式表示． 【变式训练】 变式1-1.（202