第十章 第6节 离散型随机变量的分布列及均值与方差-【创新教程】2024高考理科数学总复习大一轮教师用书word（老教材，人教版）

(理)第6节　离散型随机变量的分布列及均值与方差 考点点击 核心素养 考情聚焦 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性． 2．理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用． 3．理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念． 4．能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题. 1.离散型随机变量的分布列，达成数据分析、逻辑推理和数学抽象的素养． 2．离散型随机变量的期望与方差，增强数据分析、逻辑推理和数学运算的素养． 3．超几何分布，增强数据分析、逻辑推理和数学抽象的素养. 　　2024年的高考预计与分布列相结合，考查期望、方差，通过设置密切贴近现实生活的场景，考查概率思想的应用意识和创新意识．一般以解答题形式出现，难度中等. [要点梳理] 1．离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为　随机变量　，所有取值可以一一列出的随机变量，称为　离散型　随机变量． 2．离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称为离散型随机变量X的　概率分布列　. (2)离散型随机变量的分布列的性质： ①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②　p1＋p2＋…＋pn　＝1 3．常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为 X 0 1 P 1－p p 　　其中p＝P(X＝1)称为成功概率． (2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，(k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*)，称随机变量X服从超几何分布． X 0 1 … m P … 4.离散型随机变量X的均值与方差 (1)均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望． (2)方差：称D(X)＝∑n,i＝1 (xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，称其算术平方根为随机变量X的标准差． (3)均值与方差的性质：①E(aX＋b)＝aE(X)＋b. ②D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b为常数) 1．随机变量的线性关系 若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量． 2．分布列性质的两个作用 (1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值． (2)随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率． 3．方差与均值的关系D(x)＝E(x2)－[E(x)]2 [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下面结论是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)随机试验所有可能的结果是明确的，并且不止一个．(　　 ) (2)离散型随机变量的所有取值有时无法一一列出．(　　 ) (3)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定．(　　) (4)如果随机变量X的分布列由下表给出： X 2 5 P 0.3 0.7 则它服从二点分布．(　　 ) (5)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．(　　 ) (6)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小．(　　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√　(6)√ ◆[教材改编] 1．(P77A组T1)设随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 5 P p 则p为(　　 ) A.　　　B.　　　C.　　　D. 解析：C　[由分布列的性质知，＋＋＋＋p＝1，∴p＝1－＝.] 2．(P49A组T1)有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是　____________　. 解析：因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取出的次品数X的可能取值为0,1,2,3. 答案：0,1,2,3 ◆[小题纠偏] 1．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是(　　) A．ξ＝4　　B．ξ＝5　　C．ξ＝6　　D．ξ≤5 解析：C　[“放回五个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6. 故选C.] 2．已知某离散型随机变量X的分布列如下表，