第十一章 第2节 第1课时 含绝对值的不等式及其解法-【创新教程】2024高考理科数学总复习大一轮教师用书word（老教材，人教版）

第2节　不等式(选讲)(选修4－5) 第1课时　含绝对值的不等式及其解法 考点点击 核心素养 考情聚焦 1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)． 2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a. 1.绝对值不等式的解法，达成直观想象和数学建模的素养． 2．绝对值不等式的证明，增强逻辑推理和数学抽象的素养． 3．已知不等式的解集求参数，提升逻辑推理和数学抽象的素养. 　　本部分是高考的重要考查内容，涉及能利用基本不等式求一些特定函数的极值；绝对值不等式的解法和与绝对值不等式有关的参数范围等多方面内容．去掉绝对值、分类讨论、数形结合是常见解题方法．一般以解答题出现，属于基础题型. [要点梳理] 1．绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集 不等式 a>0 a＝0 a<0 |x|<a 　(－a，a)　 ∅ ∅ |x|>a (－∞，－a)∪(a，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) R (2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 ①|ax＋b|≤c⇔　－c≤ax＋b≤c　 ②|ax＋b|≥c⇔　ax＋b≤－c或ax＋b≥c　 (3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； ③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 2．绝对值不等式的应用 (1)定理：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当　ab≥0　时，等号成立． (2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当　(a－b)(b－c)≥0　时，等号成立． 1．|f(x)|＞g(x)，|f(x)|＜g(x)(g(x)＞0)型不等式的解法 (1)|f(x)|＞g(x)⇔f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)． (2)|f(x)|＜g(x)⇔－g(x)＜f(x)＜g(x)． 2．由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式 (1)|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|. (2)||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|. (3)||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|. [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下面结论是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立．(　　) (2)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立．(　　) (3)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．(　　 ) (4)|ax＋b|≤c等价于－c≤ax＋b≤c.(　　) (5)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.(　　) (6)|x－a|＋|x－b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a，b的距离之和．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×　(6)√ ◆[教材改编] 1．(P20T7)不等式3≤|5－2x|<9的解集为(　　 ) A．[－2,1)∪[4,7)　　　　　 B．(－2,1]∪(4,7] C．(－2，－1]∪[4,7) D．(－2,1]∪[4,7) 解析：D　[由题意得即 解得不等式的解集为(－2,1]∪ [4,7)．] 2．(P20T8)求不等式|x－1|－|x－5|<2的解集为　____________　. 解析：①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2， ∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1； ②当1<x<5时，原不等式可化为x－1－(5－x)<2， ∴x<4，∴1<x<4； ③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)<2，该不等式不成立． 综上，原不等式的解集为(－∞，4)． 答案：(－∞，4) ◆[小题纠偏] 1．设ab＜0，a，b∈R，那么正确的是(　　 ) A.＞ B.＜＋ C.＜ D.＜ 解析：C　[由ab＜0，得a，b异号，易知|a＋b|＜|a－b|，|a－b|＝|a|＋|b|，|a－b|＞||a|－|b||，所以C项成立，A，B，D项均不成立．] 2．不等式＜2－3x的解集是(　　 ) A. B. C. D. 解析：C　[|2x－1|＜2－3x⇔3x－2＜2x－1＜2－3x⇒⇒⇒x＜.] 3．(2023·南宁模拟)若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是　________　. 解析：利用数轴及不等式的