8.2.2 离散型随机变量的数字特征-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(苏教版2019选择性必修第二册)

8.2.2 离散型随机变量的数字特征 一、离散型随机变量的均值 1、定义：一般地，若离散型随机变量的分布列如下表所示， …… …… 则称为随机变量的均值或数学期望，简称期望。 2、意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，刻画的是取值的“中心位置”，反映或刻画了随机变量取值的平均水平。由定义可知离散型随机变量的均值与它本身有相同的单位。 3、两点分布的均值：一般地，如果随机变量服从两点分布，那么（为成功概率） 4、离散型随机变量均值的性质：如果是一个离散型随机变量，（其中为常数）也是随机变量，则 二、离散型随机变量的方差与标准差 1、定义：如果离散型随机变量的分布列如表所示， …… …… 则称为随机变量的方差，有时也记为，并称为标准差，记为。 在方差计算中，利用结论经常可以使计划简化。 2、意义：随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度。方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散。 3、性质：，（C为常数） 4、对方差、标准差概念的几点说明 （1）随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的； （2）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的的取值的稳定与波动、集中与分散程度； （3）越小，随机变量的取值就越稳定，波动就越小； （4）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛。 题型一 求离散型随机变量的均值 【例1】（2023春·浙江台州·高二台州市书生中学校联考期中）已知随机变量X的分布列如下表，若，则（ ） X 3 a P b A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1-1】（2022春·湖南长沙·高二长沙县实验中学统考期末）设随机变量X的分布列如下表所示，且，则等于（ ） X 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·全国·高二专题练习）某班级要从名男生，名女生中随机选取人参加学校组织的学习小组活动，设选取的女生人数为，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023春·山西太原·高二太原师范学院附属中学校考阶段练习）随机变量X的概率分布为，其中a是常数，则（ ） A． B． C． D． 题型二 离散型随机变量均值的性质 【例2】（2023春·山东滨州·高二统考期中）已知随机变量服从参数为的两点分布，若，（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2022春·北京·高二人大附中校考阶段练习）已知随机变量的分布列是，则（ ） 1 2 3 A． B． C． D． 【变式2-2】（2022春·河北保定·高二校联考阶段练习）已知随机变量满足，则（ ） A．或4 B．2 C．3 D．4 【变式2-3】（2022春·山西朔州·高二怀仁市第一中学校校考期中）将个球（形状相同，编号不同）随机地投入编号为、、、的个盒子，以表示其中至少有一个球的盒子的最小号码（表示第号，第号盒子是空的，第个盒子至少个球），则、分别等于（ ） A．、 B．、 C．、 D．、 题型三 求离散型随机变量的方差与标准差 【例3】（2022春·新疆·高二克拉玛依市高级中学校考阶段练习）若随机变量X的概率分布表如下： X 0 1 P 0.4 则（ ） A．0.5 B．0.42 C．0.24 D．0.16 【变式3-1】（2023春·山西·高二统考期中）已知随机变量满足为常数），则的方差（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式3-2】（2021·高二课时练习）某篮球运动员进行投篮训练，若投进的概率是，用表示他投篮3次的进球数，则随机变量的标准差为（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2022春·河南商丘·高二校联考期末）已知随机变量X的分布列如下表所示 X 0 1 2 P 则当取最大值时，a的值为（ ） A． B．