湖北省圆梦杯2023届高三下学期统一模拟（二）数学试卷

绝密 ⋆ 启用前 2023 年普通高等学校招生“圆梦杯”统一模拟考试（二） 数学试卷 本试卷共 4 页，22 题。全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟。 注意事项： 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在 试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3. 填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4. 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 黑色字迹的签字笔分别填写在试题卷和答题卡规定的位置上。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1. 若集合 M = {x | x2 − 3x < 0}，N = {x | y = ln(x− 1)}，则 M ∩N = A. {x | 0 < x < 3} B. {x | 1 < x < 3} C. {x | 0 ⩽ x < 3} D. {x | 1 < x ⩽ 3} 2. 已知向量 m，n 的夹角为 60◦，若 |m| = 2，m⊥(m− n)，则 |n| = A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，命题 p：“a5 > 0，a6 > 0”，命题 q：“S7 > 0”，则命 题 p 是命题 q 的 A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若正数 x，y 满足 x+ 2y = 2，则 y x + 1 y 的最小值为 A. √ 2 + 1 B. 2 √ 2 + 1 C. 2 D. 5 2 5. 已知函数 f(ax+ b) 图像的对称轴为 x = c，则 f(x) 图像的对称轴为 A. x = ab+ c B. x = ab− c C. x = ac+ b D. x = ac− b 试题卷 第 1 页（共 4 页） 6. 已知直三棱柱 ABC −A1B1C1 存在内切球，若 AB = 3，BC = 4，AB⊥BC，则该三棱柱外 接球的表面积为 A. 26π B. 27π C. 28π D. 29π 7. 用 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的四位数，其中能被 15 整除的有 A. 38 个 B. 40 个 C. 42 个 D. 44 个 8. 在农业生产中，自动化控制技术的应用有效提高了农业生产效率. 如图所示，在 某矩形试验田 MNPQ 中，MQ = 2MN = 4，R 为 MN 中点，F 为 QR 中点， 三角形 MQR区域种植小麦，梯形 RNPQ区域种植玉米. 为提高劳动效率，节 约用水，现采用自动浇水机器人（忽略机器人的面积）对试验田进行灌溉. 已 知该机器人沿着以 F 为焦点，MQ 为准线的抛物线运动，且向以自身为圆心， 半径为 1 8 的圆形区域内浇水. 记小麦田能够被机器人灌溉的面积为 S，则 Q P NM R F （若直线 l 与抛物线 E 相切于点 A，平行于 l 的直线 l′ 与 E 交于 B、C 两点，记 BC 与 E 围成的图形面积为 S1，△ABC 的面积为 S2，则 3S1 = 4S2） A. S = 1 4 B. 1 4 < S < 49 192 C. S = 49 192 D. S > 49 192 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。 9. 若复数 z = 2 + i 2− i，则 A. |z| = 1 B. z · z̄ = 1 C. z + z̄ = 1 D. z + 1 z = 1 10. 已知随机事件 A，B的概率分别为 P (A)，P (B)，且 P (A) = 1 3 ，P (B) = 1 2 ，P (A | B) = P (A | B̄)， 则 A. 事件 A 与事件 B 相互独立 B. 事件 A 与事件 B 相互对立 C. P (A+B) = 2 3 D. P (AB̄ | B̄) = 1 6 11. 已知函数 f(x) = a sin2 x+ b sin ( x+ π 4 ) 在区间 ( 0, 3π 4 ) 内存在两个极值点 x1，x2(x1 < x2)， 则 A. |a| < |b| B. |a| > |b| C. sin ( x1 + π 4 ) sin ( x2 + π 4 ) = 1 2 D. cos ( x1 +