专题14 概率的综合运用-2022-2023学年高一数学下学期期中期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题14 概率的综合运用 【考点预测】 1、古典概型 （1）古典概型 考察这些试验的共同特征，就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性．可以发现，它们具有如下共同特征： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型（classicalmodelsofprobability），简称古典概型． （2）概率公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率 其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 2、概率的基本性质 一般地，概率有如下性质： 性质1：对任意的事件，都有． 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即 性质3：如果事件与事件互斥，那么 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么 ， 性质5：如果，那么． 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有 3、相互独立事件的概念 对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立． 4、相互独立事件的性质 （1）事件与是相互独立的，那么与，与，与也是否相互独立． （2）相互独立事件同时发生的概率：． 【典型例题】 例1．（2023·辽宁·高一校联考期末）从高一（男、女生人数相同,人数很多）抽三名学生参加数学竞赛，记事件A为“三名学生都是女生”，事件B为“三名学生都是男生”，事件C为“三名学生至少有一名是男生”，事件D为“三名学生不都是女生”，则以下错误的是（    ） A． B． C．事件A与事件B互斥 D．事件A与事件C对立 例2．（2023·山东潍坊·高一统考期末）小刚参与一种答题游戏，需要解答A，B，C三道题．已知他答对这三道题的概率分别为a，a，，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为（    ） A． B． C． D． 例3．（2023·辽宁抚顺·高一抚顺一中校考期末）某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为、，两人能否获得满分相互独立，则下列说法正确的是（    ）． A．两人均获得满分的概率为 B．两人至少一人获得满分的概率为 C．两人恰好只有甲获得满分的概率为 D．两人至多一人获得满分的概率为 例4．（2023·辽宁·高一校联考期末）已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：                      ，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（    ） A． B． C． D． 例5．（2023·江西吉安·高一江西省遂川中学校考期末）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是（    ） A．恰有1名女生与恰有2名女生 B．至多有1名女生与全是男生 C．至多有1名男生与全是男生 D．至少有1名女生与至多有1名男生 例6．（2023·广西钦州·高一统考期末）一个笼子里有只白兔，只灰兔，现让它们一一跑出笼子，假设每一只跑出笼子的概率相同，则先跑出笼子的两只兔子中一只是白兔，另一只是灰兔的概率是 （    ） A． B． C． D． 例7．（2023·山东菏泽·高一统考期末）新高考取消文理分科，采用选科模式，这赋予了学生充分的自由选择权．新高考地区某校为了解本校高一年级将来高考选考历史的情况，随机选取了100名高一学生，将他们某次历史测试成绩（满分100分）按照，，，，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)求图中a的值并估计这100名学生本次历史测试成绩的中位数． (2)据调查，本次历史测试成绩不低于60分的学生，高考将选考历史科目；成绩低于60分的学生，高考将不选考历史科目．按分层抽样的方法从测试成绩在，的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率． 例8．（2023·山东潍坊·高一统考期末）某中学为了解高一年级数学文化知识竞赛的得分情况，从参赛的1000名学生中随机抽取了50名学生的成绩进行分析．经统计，这50名学生的成绩全部介于55分和95分之间，将数据按照如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．已知第一组和第八组人数相同，第七组的人数为3人． (1)求第六组的频率；若比赛成绩由高到低的前15%为优秀等级，试估计该校参赛的高一年级1000名学生的成绩中优秀等级的最低分数（精确到0.1）； (2)若从样本中成绩属于第六组和