第一章 第3节　等式性质与不等式性质-（教师用书）【导学教程】2024新教材新高考数学新编大一轮总复习（人教版）

第3节　等式性质与不等式性质 考向预测 核心素养 1．梳理等式的性质． 2．理解不等式的概念，掌握不等式的性质． 3．以考查不等式的性质为重点，同时考查不等关系，常与函数、数列、解析几何、实际问题等相结合进行综合命题． 逻辑推理 [对应学生用书P10] 1．实数大小与运算性质之间的关系 a－b＞0⇔__a＞b__；a－b＝0⇔__a＝b__；a－b＜0⇔__a＜b__． 2．等式的性质 (1)对称性：若a＝b，则__b＝a__． (2)传递性：若a＝b，b＝c，则__a＝c__． (3)可加性：若a＝b，则a＋c＝__b＋c__． (4)可乘性：若a＝b，则__ac＝bc__；若a＝b，c＝d，则__ac＝bd__． 3．不等式的性质 (1)对称性：a＞b⇔b__＜__a. (2)传递性：a＞b，b＞c⇔a__＞__c. (3)可加性：a＞b⇔a＋c__＞__b＋c； a＞b，c＞d⇒a＋c__＞__b＋d. (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac__＞__bc； a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac__＞__bd. (5)可乘方性：a＞b＞0⇒an__＞__bn(n∈N，n≥1). (6)可开方性：a＞b＞0⇒__＞__(n∈N，n≥2). 1．倒数性质 (1)a＞b，ab＞0⇒＜； (2)a＜0＜b⇒＜； (3)a＞b＞0，d＞c＞0⇒＞. 2．有关分数的性质 若a＞b＞0，m＞0，则 (1)＜；＞(b－m＞0)； (2)＞；＜(b－m＞0). 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种．(　　) (2)若＞1，则a＞b.(　　) (3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．(　　) (4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　 二、教考衔接 1．(人A必修第一册P42练习T2改编)用不等号“＞”或“＜”填空． (1)如果a＞b，c＜d，那么a－c________b－d； (2)如果a＞b＞0，那么________； (3)如果c＞a＞b＞0，那么________. 答案　(1)＞　(2)＜　(3)＞ 2．(人A必修第一册P42习题2.1T5改编)已知2＜a＜3，1＜b＜2，则2a－b的取值范围是________． 解析　因为2＜a＜3，所以4＜2a＜6.又1＜b＜2，－2＜－b＜－1，所以2＜2a－b＜5. 答案　(2，5) 三、走出误区 1．(易错题)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(　　) A．－＞0　　　　　 B．－＜0 C．＞ D．＜ 解析　因为c＜d＜0，所以0＜－d＜－c，又0＜b＜a，所以－bd＜－ac，即bd＞ac， 又因为cd＞0，所以＞，即＞. 答案　D 2．(活用结论)下列命题中，正确的序号是________． (1)若b＞a＞0，则＞； (2)若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d； (3)若ab＞0，a＞b，则＜. 解析　(1)中，由分数性质知(1)正确； (2)中，因为a＞b，－c＜－d，不满足不等式的同向相加性，故(2)不正确； (3)中，因为ab＞0，所以a，b同号，所以当a＞b时，＜，故(3)正确． 答案　(1)(3) [对应学生用书P11] 考点1　比较两个数(式)的大小(题组练透) 1．设a>b>1，y1＝，y2＝，y3＝，则y1，y2，y3的大小关系是(　　) A．y1<y2<y3　　　 B．y2<y1<y3 C．y3<y2<y1 D．y2<y3<y1 解析　由a>b>1，可得a－b>0，2b－1>0，3b＋1>0， 又y1－y2＝－＝<0，可得y1<y2；又y2－y3＝－＝<0，可得y2<y3.所以y1<y2<y3. 答案　A 2．已知a＞b＞0，m＞0，则(　　) A．＝ B．＞ C．＜ D．与的大小关系不确定 解析　－＝＝. 因为a＞b＞0，m＞0. 所以b－a＜0，a＋m＞0，所以＜0. 即－＜0.所以＜. 答案　C 3．若a＝，b＝，则a与b的大小关系是________． 解析　因为a＝＞0，b＝＞0， 所以＝·＝＝＝log89＞1， 所以a＞b. 答案　a＞b [练后悟通] 比较大小常用的方法 [提醒]　用作差法比较大小的关键是对差式进行变形，常用的变形方法有通分、因式分解、配方等． 考点2　不等式的性质(师生共研) 　(1)(多选)下列命题正确的是(　　) A．若>，则a<b B．若a<b且ab>0，则> C．若a<b<0，则a2<ab<b2 D．若a>b>0，c<d<0，则ac<bd [解析]　对选项A：可取a＝3，b＝2，c＝－1，则满足>，但此时a>b，所以选项A错误；