第一章 第2节　常用逻辑用语-（教师用书）【导学教程】2024新教材新高考数学新编大一轮总复习（人教版）

第2节　常用逻辑用语 考向预测 核心素养 主要考查充分、必要条件的判断、含有一个量词的命题的否定及真假判断，题型以选择题为主，低档或中档难度． 数学抽象、逻辑推理 [对应学生用书P5] 1．充分条件、必要条件与充要条件的概念 p是q的__充分__条件，q是p的__必要__条件 p⇒q p是q的__充分不必要__条件 p⇒q且q⇒/ p p是q的__必要不充分__条件 p⇒/ q且q⇒p p是q的__充要__条件 p⇔q p是q的__既不充分也不必要__条件 p⇒/ q且q⇒/ p [微提醒]　不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题． 2．全称量词命题与存在量词命题 (1)全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 __∀__ 存在量词 存在一个、至少有一个、有些、某些等 __∃__ (2)全称量词命题和存在量词命题 　名称 形式　 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，有p(x)成立 存在M中的一个x，使p(x)成立 简记 __∀x∈M__，p(x) __∃x∈M__，p(x) 否定 __∃x∈M__，¬p(x) __∀x∈M__，¬p(x) 1．集合与充要条件：设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B， (1)p是q的充分不必要条件⇔AB； (2)p是q的必要不充分条件⇔AB； (3)p是q的充要条件⇔A＝B. 2．全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写． (2)否定结论：对原命题的结论进行否定． 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　) (2)q不是p的必要条件时，“p⇒/ q”成立．(　　) (3)写存在量词命题的否定时，存在量词变为全称量词．(　　) (4)∃x∈M，p(x)与∀x∈M，¬p(x)的真假性相反．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 二、教考衔接 1．(人A必修第一册P21例3(3)改编)“xy＞0”是“x＜0，y＜0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　因为xy＞0⇒/ x＜0，y＜0，而x＜0，y＜0⇒xy＞0，所以“xy＞0”是“x＜0，y＜0”的必要不充分条件． 答案　B 2．(人A必修第一册P31习题1.5T3(1)改编)命题：“∃x∈Z，|x|∉N”的否定是____________________． 答案　∀x∈Z，|x|∈N 三、走出误区 1．(多选)(易错题)设x∈R，则x＞2的一个必要不充分条件是(　　) A．x＜1　　　　　　　 B．x＞1 C．x＞－1 D．x＞3 答案　BC 2．(活用结论)已知a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　解法一　由a2＞a，得a2－a＞0，a(a－1)＞0，即a＞1或a＜0，所以条件“a＞1”可以推出结论“a2＞a”，反之不成立，所以“a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件，故选A. 解法二　若a2＞a，可取a＝－2，则(－2)2＞－2，但－2＞1不成立，而a＞1时，a2＞a成立，所以“a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件，故选A. 答案　A [对应学生用书P6] 考点1　充分条件、必要条件的判断(题组练透) 1．(2022·浙江卷)设x∈R，则“sin x＝1”是“cos x＝0”的(　　) A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　sin x＝1，则x＝＋2kπ，k∈Z；cos x＝0，则x＝＋kπ，k∈Z.若sin x＝1可推出cos x＝0，充分性成立；反之不成立，即必要性不成立，故选A. 答案　A 2．已知a、b都是实数，那么“|a|＞|b|”是“a＞|b|”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　若|a|＞|b|，取a＝－2，b＝1，则a＞|b|不成立，即“|a|＞|b|”⇒/ “a＞|b|”； 若a＞|b|，则|a|≥a＞|b|，即|a|＞|b|，所以“|a|＞|b|”⇐“a＞|b|”． 因此，“|a|＞|b|”是“a＞|b|”的必要不充分条件． 答案　B 3．(2022·金华三模)已知实数a，b，a＞0，b＞0，则“a＋b＜2”是“＜”的(　　) A．必要不充分