第二章 第9节　函数模型及其应用-（教师用书）【导学教程】2024新教材新高考数学新编大一轮总复习（人教版）

第9节　函数模型及其应用 考向预测 核心素养 考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力，常与函数图象、单调性、最值及方程、不等式交汇命题，各种题型均有可能，中档难度． 数学建模 [对应学生用书P50] 1．几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数， a＞0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0) 2．三种函数模型性质比较 函数 y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0) 在(0，＋∞) 上的单调性 __增函数__ __增函数__ __增函数__ 增长速度 __越来越快__ __越来越慢__ 相对平稳 图象的变化 随x值增大，图象与__y轴__接近平行 随x值增大，图象与__x轴__接近平行 随n值变化而不同 1．“对勾”函数f(x)＝x＋(a＞0)的性质 (1)该函数在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减． (2)当x＞0时，x＝时取最小值2；当x＜0时，x＝－时取最大值－2. 2．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢． 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)幂函数增长比一次函数增长更快．(　　) (2)在(0，＋∞)内，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α＞0)的增长速度．(　　) (3)指数型函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．(　　) (4)对于一个实际问题，收集到的数据越多，建立的函数模型的模拟效果越好．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 二、教考衔接 1．(多选)(人A必修第一册P155习题4.5T9改编)如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y＝at.关于下列说法中正确的是(　　) A．浮萍每月的增长率为1 B．第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2 C．浮萍每月增加的面积都相等 D．若浮萍蔓延到2 m2，3 m2，6 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3 解析　把(1，2)代入y＝at，可得函数解析式为y＝2t，因为＝1，所以每月增长率为1，A正确； 当t＝5时，y＝32>30，所以B正确； 第2个月增加2 m2，第3个月增加4 m2，C错误； 答案　ABD 2．(人A必修第一册P96习题3.4T5改编)下表是弹簧伸长长度x(单位：cm)与拉力F(单位：N)的相关数据： x 14.2 28.8 41.3 57.5 70.2 F 1 2 3 4 5 写出能反映这一变化现象的函数为________(不唯一). 解析　根据点的分布特征，可以考虑用函数x＝kF＋b(k≠0)作为刻画弹簧伸长长度与拉力关系的函数模型． 取两组数据(1，14.2)，(4，57.5)，则 解得所以x＝14.4F－0.2. 将已知数据代入上述解析式，或作出函数图象，可以发现，这个函数模型与已知数据拟合程度较好． 答案　x＝14.4F－0.2 三、走出误区 1．(易错题)生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元).一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件． 解析　设利润为L(x)，则利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值． 答案　18 2．(活用结论)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(　　) A．f(x)＞g(x)＞h(x)　 B．g(x)＞f(x)＞h(x) C．g(x)＞h(x)＞f(x) D．f(x)＞h(x)＞g(x) 解析　在同一坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次g(x)>f(x)>h(x). 答案　B [对应学生用书P51] 考点1　用函数图象刻画变化过程(题组练透) 1．(多选)在一次社会实践活动中，某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画出了某种产品的总产量y(单位：kg)与时间x(单位：h)的函数图象