第二章 第8节　函数与方程-（教师用书）【导学教程】2024新教材新高考数学新编大一轮总复习（人教版）

第8节　函数与方程 考向预测 核心素养 利用函数零点存在定理或函数的图象，对函数是否存在零点进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围是高考的热点，各种题型均可能出现，中高档难度． 直观想象、逻辑推理 [对应学生用书P47] 1．函数零点 (1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，我们把使__f(x)＝0__的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点． (2)三个等价关系 (3)零点存在定理 [微提醒]　函数的零点是实数，而不是点，是方程f(x)＝0的实根．零点一定在定义域内． 2．二次函数图象与零点的关系 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) __(x1，0)__ 无 零点个数 __2__ __1__ __0__ 有关函数零点的三个结论 1．若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． 2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． 3．连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.(　　) (2)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．(　　) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac＜0时没有零点．(　　) (4)若函数f(x)在(a，b)上连续单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 二、教考衔接 1．(人A必修第一册P155习题4.5T2改编)已知函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： x 1 2 3 4 5 6 y 136.136 15.552 －3.92 10.88 －52.488 －232.064 则函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有(　　) A．2个　　　　　　　 B．3个 C．4个 D．5个 解析　依题意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根据零点存在定理可知，f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有3个． 答案　B 2．(人A必修第一册P144练习T2(3)改编)函数f(x)＝ex－1＋4x－4的零点个数是________． 解析　因为函数f(x)的图象连续不断，且f(x)为增函数，f(0)＝－4<0，f(1)＝e0＝1>0，所以函数f(x)有且只有1个零点． 答案　1 三、走出误区 1．(易错题)函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为________． 解析　当a＝0时，f(x)＝－x－1， 令f(x)＝0得x＝－1， 故f(x)只有一个零点为－1. 当a≠0时，则Δ＝1＋4a＝0，∴a＝－. 综上有a＝0或a＝－. 答案　0或－ 2．(活用结论)设f(x)在区间[a，b]上是连续的单调函数，且f(a)·f(b)＜0，则方程f(x)＝0在闭区间[a，b]内(　　) A．至少有一实根 B．至多有一实根 C．没有实根 D．必有唯一实根 解析　由函数零点存在定理知，函数f(x)的图象在[a，b]内与x轴只有一个交点，即方程f(x)＝0在[a，b]内只有一个实根． 答案　D [对应学生用书P48] 考点1　函数零点所在区间的判断(题组练透) 1．在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为(　　) A．　　　　　 B． C． D． 解析　因为函数f(x)＝ex＋4x－3在R上连续单调递增， 且所以函数的零点在区间内，故选C. 答案　C 2．(多选)(2022·南京二模)若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法错误的是(　　) A．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点 B．f(x)在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点 C．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点 D．f(x)在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点 解析　由题知f(0)·f(1)<0，所以根据函数零点存在定理可得f(x)在区间(0，1)上一定有零点，又f(1)·f>0，无法判断f(x)在区间上是否有零点，在区间(1，2)上可能有零点．故选ABD. 答案　ABD 3．设函数f(x)＝x－l