第二章 第6节　对数与对数函数-（教师用书）【导学教程】2024新教材新高考数学新编大一轮总复习（人教版）

第6节　对数与对数函数 考向预测 核心素养 以比较对数函数值大小的形式考查函数的单调性；以复合函数的形式考查对数函数的图象与性质，各种题型均可能出现，中档难度． 数学抽象、数学运算 [对应学生用书P39] 1．对数的概念 一般地，如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作__x＝logaN__，其中__a__叫做对数的底数，__N__叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①loga1＝0；②logaa＝1；③alogaN＝__N__；④logaaN＝__N__(a＞0，且a≠1). (2)对数的运算法则 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么： ①loga(MN)＝__logaM＋logaN__； ②loga＝__logaM－logaN__； ③logaMn＝__nlogaM__(n∈R). (3)对数的换底公式 logab＝(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；b＞0). [微提醒]　应用换底公式时，一般选用e或10作为底数． 3．对数函数的图象与性质 y＝logax a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 __(0，＋∞)__ 值域 R 性质 过定点__(1，0)__，即x＝1时，y＝0 当x＞1时，__y＞0__； 当0＜x＜1时，__y＜0__ 当x＞1时，__y＜0__； 当0＜x＜1时，__y＞0__ 在(0，＋∞)上是__增函数__ 在(0，＋∞)上是__减函数__ 4．反函数 指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，图象关于直线__y＝x__对称． 1．换底公式的三个重要结论 ①logab＝；②logambn＝logab；③logab·logbc·logcd＝logad. 2．对数函数图象的特点 (1)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限． (2)函数y＝logax与y＝logx(a＞0且a≠1)的图象关于x轴对称． (3)在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大． 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若MN＞0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　) (2)对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　　) (3)函数y＝logax2与函数y＝2logax是相等函数．(　　) (4)若M＞N＞0，则logaM＞logaN.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 二、教考衔接 1．(人A必修第一册P126练习T3(2)改编)(log43＋log83)·log32＝________． 解析　(log43＋log83)·log32＝·＝. 答案　 2．(人A必修第一册P131练习T1改编)函数y＝log7的定义域为________． 答案　 三、走出误区 1．(易错题)函数y＝logax(a＞0，a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________． 解析　分两种情况讨论：①当a＞1时，有loga4－loga2＝1，解得a＝2；②当0＜a＜1时，有loga2－loga4＝1，解得a＝.所以a＝2或a＝. 答案　2或 2．(活用结论)如图所示的三个对数函数的图象，则下列选项正确的是(　　) A．0＜c＜b＜1＜a　 B．0＜b＜c＜1＜a C．1＜b＜c＜a D．1＜c＜b＜a 解析　作直线y＝1(图略)，则该直线与三个函数图象交点的横坐标为相应的底数，即0＜c＜b＜1＜a. 答案　A [对应学生用书P40] 考点1　对数式的化简与求值(题组练透) 1．(2020·全国卷Ⅰ)设alog34＝2，则4－a＝(　　) A．　　　　　　　　　 B． C． D． 解析　解法一　因为alog34＝2，所以log34a＝2， 则有4a＝32＝9，所以4－a＝＝，故选B. 解法二　因为alog34＝2，所以－alog34＝－2， 所以log34－a＝－2，所以4－a＝3－2＝＝，故选B. 答案　B 2．(2022·临汾三模)我国在防震减灾中取得了伟大成就，并从2009年起，将每年5月12日定为全国“防灾减灾日”．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，地震学家查尔斯·里克林提出了关系式：lg E＝4.8＋1.5M，其中E为地震释放出的能量，M为地震的里氏震级．已知2008年5月12日我国发生的汶川地震的里氏震级为8.0级，2017年8月8日我国发生的九寨沟地震的里氏震级为7.0级，可知汶川地震释放的能量约为九寨沟地震的(　　)