第二章 第5节　指数与指数函数-（教师用书）【导学教程】2024新教材新高考数学新编大一轮总复习（人教版）

第5节　指数与指数函数 考向预测 核心素养 考查指数函数的图象与性质；以指数函数为载体，考查函数与方程、不等式等交汇问题，各种题型均可能出现，中档难度． 数学抽象、数学运算 [对应学生用书P35] 1．根式 (1)根式的概念 ①若__xn＝a__，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子____叫做根式，这里__n__叫做根指数，__a__叫做被开方数． ②a的n次方根的表示 xn＝a⇒ (2)根式的性质 ①()n＝a(n∈N*，且n＞1). ②＝ 2．有理数指数幂 幂的有 关概念 正分数指数幂：a＝____(a＞0，m，n∈N*，且n＞1) 负分数指数幂：a＝____＝____(a＞0，m，n∈N*，且n＞1) 0的正分数指数幂等于__0__，0的负分数指数幂__无意义__ 有理数指数幂 的运算性质 aras＝__ar＋s__(a＞0，r，s∈Q) (ar)s＝__ars__(a＞0，r，s∈Q) (ab)r＝__arbr__(a＞0，b＞0，r∈Q) 3．指数函数的图象与性质 y＝ax a＞1 0＜a＜1 图象 性质 函数的定义域为__R__；值域为__(0，＋∞)__ 函数图象过定点__(0，1)__，即当x＝__0__时，y＝__1__ 当x＞0时，恒有__y＞1__； 当x＜0时，恒有__0＜y＜1__ 当x＞0时，恒有__0＜y＜1__； 当x＜0时，恒有__y＞1__ 函数在定义域R上为增函数 函数在定义域R上为减函数 [微提醒]　指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究． 1．指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象过三个定点：(1，a)，(0，1)，. 2．y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象特征：如图(a1＞a2＞a3＞a4)，不论是a＞1，还是0＜a＜1，在第一象限内图象越高，底数越大；在第二象限内图象越高，底数越小． 3．当a＞0，且a≠1时，函数y＝ax与函数y＝的图象关于y轴对称． 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)＝－4.(　　) (2)2a·2b＝2ab.(　　) (3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(　　) (4)若am＜an(a＞0，且a≠1)，则m＜n.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 二、教考衔接 1．(人A必修第一册P109习题4.1T2改编)下列运算中正确的是(　　) 解析　对于A，2－π<0，所以＝π－2，错误； 对于B，因为－>0，所以a<0，则a＝－·＝－，错误； 答案　C 2．(人A必修第一册P119习题4.2T6改编)设a＝0.60.5，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．b<c<a 解析　因为y＝0.6x是减函数，所以1>0.60.5>0.61.5，1.5>1，0.6>0，1.50.6>1，所以b<a<c. 答案　C 三、走出误区 1．(易错题)将化成分数指数幂为(　　) A．x B．x C．x D．x 答案　B 2．(活用结论)已知y1＝，y2＝3x，y3＝10－x，y4＝10x，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象为(　　) 解析　y2＝3x与y4＝10x在R上单调递增；y1＝与y3＝10－x＝在R上单调递减，在第一象限内作直线x＝1，该直线与四条曲线交点的纵坐标对应各底数，易知选A. 答案　A [对应学生用书P37] 考点1　指数幂的化简与求值(题组练透) 1．(多选)下列运算正确的是(　　) A．＝m7·n (m＞0，n＞0) B．＝＝ C．＝(x＋y) (x＞0，y＞0) D．＝ 解析　＝m7·n－7(m＞0，n＞0)，故A错误； ＝＝，故B正确； 与(x＋y) ＝不同，故C错误； ＝ ＝(3)＝3＝，故D正确． 答案　BD 2．某灭活疫苗的有效保存时间T(单位：h)与储藏的温度t(单位：℃)满足的函数关系为T＝ekt＋b(k，b为常数，其中e＝2.718 28…，是一个和π类似的无理数，叫自然对数的底数)，超过有效保存时间，疫苗将不能使用．若在0 ℃时的有效保存时间是1 080 h，在10 ℃时的有效保存时间是120 h，则该疫苗在15 ℃时的有效保存时间为(　　) A．15 h　　　　　　　 B．30 h C．40 h D．60 h 解析　由题意知1 080＝eb，120＝e10k＋b＝e10k·eb，所以e10k＝(e5k)2＝＝， 所以e5k＝，所以e15k＝，所以e15k＋b＝e15k·eb＝×1 080＝40. 答案