第二章 第4节　幂函数与二次函数-（教师用书）【导学教程】2024新教材新高考数学新编大一轮总复习（人教版）

第4节　幂函数与二次函数 考向预测 核心素养 二次函数一般与其他知识综合考查，幂函数的考查以图象、性质为主，题型一般为选择题、填空题，中档难度． 直观想象、逻辑推理、数学抽象 [对应学生用书P32] 1．幂函数 (1)定义 形如__y＝xα(α∈R)__的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数． (2)常见的5种幂函数的图象 (3)性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义． ②当α＞0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增． ③当α＜0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． [微提醒]　幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内． 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝__ax2＋bx＋c(a≠0)__； ②顶点式：f(x)＝__a(x－m)2＋n(a≠0)__； ③零点式：f(x)＝__a(x－x1)(x－x2)(a≠0)__． (2)二次函数的图象与性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 图象 (抛物线) 定义域 __R__ 值域 ____ ____ 对称轴 x＝－ 顶点 坐标 奇偶性 当b＝0时，是偶函数；当b≠0时，是非奇非偶函数 单调性 在____上单调递减； 在____上单调递增 在____上单调递增； 在____上单调递减 续表 1．幂函数y＝xα的图象在第一象限内 (1)直线x＝1的右侧，图象由上至下，指数α由大到小； (2)y轴和直线x＝1之间，图象由上至下，指数α由小到大． 2．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时，恒有f(x)＞0；当时，恒有f(x)＜0. 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝2x是幂函数．(　　) (2)当n＞0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上单调递增．(　　) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．(　　) (4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 二、教考衔接 1．(人A必修第一册P91练习T3改编)若函数f(x)＝x2－ax＋1有负值，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(2，＋∞) 解析　f(x)＝x2－ax＋1＝＋1－，要使函数有负值，则其最小值f(x)min＝1－<0，解得a<－2，或a>2. 答案　C 2．(人A必修第一册P91练习T1改编)已知幂函数f(x)＝kxα的图象过点，则k＋α＝________． 解析　因为函数f(x)＝kxα是幂函数，所以k＝1，又函数f(x)的图象过点，所以＝，解得α＝，则k＋α＝. 答案　 三、走出误区 1．(易错题)已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是(　　) A．[3，＋∞) B．(－∞，3] C．(－∞，－3) D．(－∞，－3] 解析　函数f(x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧，所以－2a≥6，解得a≤－3，故选D. 答案　D 2．(活用结论)已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是________． 解析　因为函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，所以解得a＞. 答案　 [对应学生用书P33] 考点1　幂函数的图象与性质(题组练透) 1．(多选)幂函数在(0，＋∞)上单调递增，则以下说法正确的是(　　) A．m＝3 B．函数f(x)在(－∞，0)上单调递增 C．函数f(x)是偶函数 D．函数f(x)的图象关于原点对称 解析　因为幂函数在(0，＋∞)上是增函数， 所以解得m＝3，所以f(x)＝x3， 所以f＝3＝－x3＝－f(x)，故f(x)＝x3为奇函数，函数图象关于原点对称， 所以f(x)在(－∞，0)上单调递增；故选ABD. 答案　ABD 2．已知幂函数y＝x(p∈Z)的图象关于y轴对称，如图所示，则(　　) A．p为奇数，且p>0 B．p为奇数，且p<0 C．p为偶数，且p>0 D．p为偶数，且p<0 解析　因为函数y＝x的图象关于y轴对称，所以函数y＝x为偶函数，即p为偶数， 又函数y＝x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递减，则有<0，所以p<0. 答案　D 3．已知a＝2，b＝4，c＝25，则(　　) A．b<a<c　　　　　 B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b