第二章 第3节　函数的奇偶性与周期性-（教师用书）【导学教程】2024新教材新高考数学新编大一轮总复习（人教版）

第3节　函数的奇偶性与周期性 考向预测 核心素养 以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，题型以选择题、填空题为主，中档偏上难度． 数学抽象、逻辑推理 [对应学生用书P28] 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__f(－x)＝f(x)__，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于__y轴__对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__f(－x)＝－f(x)__，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于__原点__对称 [微提醒]　函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． 2．函数的周期性 (1)周期函数 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有__f(x＋T)＝f(x)__，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个__最小__的正数，那么这个__最小__正数就叫做f(x)的最小正周期． 1．函数奇偶性的常用结论 (1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (3)在公共定义域内：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 2．函数周期性的常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0). (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a＞0). (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0). 3．对称性的三个常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称． 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.(　　) (2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点.(　　) (3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(　　) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 二、教考衔接 1．(人A必修第一册P86习题3.2T11改编)已知函数f(x)＝为偶函数，则g＝(　　) A．2　　　　　　 B． C．－2 D．－ 解析　∵函数f(x)为偶函数，∴当x<0时，－x>0，f＝e－x，∴f(x)＝e－x，即g(x)＝e－x，又ln ＝－ln 2<0，故g＝e＝eln 2＝2. 答案　A 2．(人A必修第一册P203练习T4改编)若函数f(x)满足f＝f，且当x∈时，f(x)＝3－x＋1，则f＝(　　) A． B．10 C．4 D．2 解析　由f＝f，得f＝f(x)，∴函数f(x)是周期函数，且4是它的一个周期，又当x∈时，f(x)＝3－x＋1，∴f＝f＝f＝9＋1＝10，故选B. 答案　B 三、走出误区 1．(易错题)函数f(x)＝是________函数．(填“奇”“偶”“非奇非偶”) 解析　由得－1<x<0或0<x<1，即f(x)的定义域为(－1，0)∪(0，1)， 所以f(x)＝，所以f(－x)＝＝－f(x)，所以f(x)是奇函数． 答案　奇 2．(活用结论)已知定义在R上的函数满足f(x＋2)＝－，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1.则f(17)＝____________． 解析　因为f(x＋2)＝－，所以f(x＋4)＝－＝f(x)，所以函数y＝f(x)的周期T＝4.f(17)＝f(4×4＋1)＝f(1)＝1. 答案　1 [对应学生用书P29] 考点1　函数的奇偶性(多维研析) 角度一　判断函数的奇偶性 　判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝x3－； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝＋； (4)f(x)＝ [解析]　(1)原函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，并且对于定义域内的任意一个x都有f(－x)＝(－x)3－＝－＝－f(x)，从而函数f(x)为奇函数． (2)由得－2<x<2，即函数f(x)的定义域是{x|－2<x<2}，关于原点对称． 因此f(x)＝＝lg (4－x2)，所以f(－x)＝f(x)，因此函数f(x)是偶函数． (3)f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称． 又f(－1)＝