第二章 第2节　函数的单调性与最值-（教师用书）【导学教程】2024新教材新高考数学新编大一轮总复习（人教版）

第2节　函数的单调性与最值 考向预测 核心素养 以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用；题型既有选择题、填空题，又有解答题，中档偏上难度． 数学抽象、逻辑推理 [对应学生用书P21] 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果对于定义域D内某个区间I上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1＜x2时，都有__f(x1)＜f(x2)__，那么就说函数f(x)在区间I上是增函数 当x1＜x2时，都有__f(x1)＞f(x2)__，那么就说函数f(x)在区间I上是减函数 图象 描述 自左向右看图象 是__上升的__ 自左向右看图象 是__下降的__ (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上是__增函数__或__减函数__，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，__区间I__叫作函数y＝f(x)的单调区间． [微提醒]　(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示． (2)求函数单调区间或讨论函数单调性时，必须先求函数的定义域． (3)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． 2．函数的最值 前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意x∈D，都有__f(x)≤M__； (2)存在x0∈D，使得__f(x0)＝M__ (1)对于任意x∈D，都有__f(x)≥M__； (2)存在x0∈D，使得__f(x0)＝M__ 结论 M为最大值 M为最小值 1．函数单调性的两个等价结论 设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则 (1)＞0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0)⇔f(x)在D上单调递增． (2)＜0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0)⇔f(x)在D上单调递减． 2．函数最值存在的两条结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值． 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)＜f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．(　　) (2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是单调递增，则函数f(x)的单调递增区间是[1，＋∞).(　　) (3)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).(　　) (4)所有的单调函数都有最值．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 二、教考衔接 1．(人A必修第一册P78例1改编)若函数y＝(2k＋1)x＋3在R上是减函数，则k的取值范围是________． 解析　由题意得2k＋1＜0，即k＜－. 答案　 2．(人A必修第一册P79例3改编)函数y＝x＋(x>0)的单调递增区间是________． 答案　(2，＋∞)(填[2，＋∞)也对) 三、走出误区 1．(易错题)函数f(x)＝的单调递减区间为________． 解析　由x2－3x＋2≥0可解得x≤1或x≥2，即f(x)的定义域为∪，因为y＝x2－3x＋2在单调递减，在单调递增， 所以f(x)的单调递减区间为. 答案　 2．(活用结论)已知函数f(x)＝，x∈[2，6]，则f(x)的最大值为________，最小值为________． 解析　可判断函数f(x)＝在区间[2，6]上为减函数，所以f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝. 答案　2　 [对应学生用书P22] 考点1　确定函数的单调性(区间)(多维研析) 角度一　判断或证明函数的单调性 　判断f(x)＝在(0，＋∞)上的单调性． [解析]　根据函数单调性的定义，任取0<x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝ ＝ ＝， 因为0<x1<x2，所以x1－x2<0， 所以f－f<0， 所以原函数在(0，＋∞)上单调递增． [解题策略] 定义法证明或判断函数单调性的步骤 [提醒]　判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等． 角度二　求函数的单调区间 　求函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1的单调区间． [解析]　f(x)＝ ＝ 画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和(0，1]，单调递减区间为(－1，0]和(1，＋∞). [解题策略] 确定函数单调区间的方法 1．函数f(x)＝的单调增区间是(　　) A．(－∞，－3)　　　　　 B．[2，＋∞) C．[0，2) D．[－3，2] 解析　要使函数有意义，则x2＋x－6≥0，解得x≥2或x≤－3，易知y＝x2＋x－6在区间(－∞，－3]上单调递减，在区间[2，＋∞)上