第二章 第1节　函数的概念及其表示-（教师用书）【导学教程】2024新教材新高考数学新编大一轮总复习（人教版）

第1节　函数的概念及其表示 考向预测 核心素养 以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域，分段函数以及函数与其他知识的综合是高考热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，中档偏上难度． 数学抽象、数学运算 [对应学生用书P18] 1．函数的有关概念 (1)函数的概念 一般地，设A，B是__非空的实数集__，如果对于集合A中的__任意__一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有__唯一__确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作__y＝f(x)，x∈A__．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的__定义域__；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的__值域__． (2)函数的三要素：__定义域__、__对应关系__和__值域__． (3)函数的表示法 表示函数的常用方法有__解析法__、__图象法__和__列表法__． [微提醒]　两个函数当且仅当定义域和对应关系相同时，才是相同函数，若是值域和对应关系相同，两函数不一定相同． 2．分段函数 在函数定义域内，对于自变量x取值的不同区间，有着不同的__对应关系__，这样的函数称为分段函数． 分段函数的定义域是各段定义域的__并集__，值域是各段值域的__并集__．分段函数虽由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交． 1．定义域与对应关系完全一致的两个函数是同一个函数． 2．与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个公共点． 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是相等函数．(　　) (2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．(　　) (3)函数f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点．(　　) (4)分段函数是由两个或几个函数组成的．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 二、教考衔接 1．(人A必修第一册P66例3改编)下列各组函数中，表示同一个函数的是(　　) A．f(x)＝与g(x)＝x－1 B．f(x)＝2与g(x)＝ C．f(x)＝与g(x)＝()2 D．y＝ 与y＝ 解析　A中，f(x)的定义域为{x|x≠－1}，g(x)的定义域为R，故A错误；B中，g(x)＝＝2＝f(x)，B正确；C中，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为[0，＋∞)，故C错误；D中，y＝的定义域为[1，＋∞)，由x2－1≥0可得y＝的定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，D错误． 答案　B 2．(人A必修第一册P72习题3.1T1)函数f(x)＝＋的定义域为(　　) A．∪ B．∪ C．∪ D．∪ 解析　由解得－2≤x≤3且x≠1. 答案　C 三、走出误区 1．(易错题)已知函数f(x＋1)的定义域为[1，3]，则f(2x)的定义域为(　　) A．[1，2]　　　　　　　 B．[1，3] C．[2，4] D．[2，6] 解析　因为函数f(x＋1)的定义域为[1，3]， 所以函数f(x)的定义域为[2，4]. 要求f(2x)的定义域，只需2≤2x≤4，解得1≤x≤2. 答案　A 2．(活用结论)(多选)下列图象中能表示函数的图象的是(　　) 解析　在选项D中，x＞0时，任意一个x对应着两个y的值，因此选项D不是函数的图象，故选ABC. 答案　ABC [对应学生用书P19] 考点1　函数的定义域(题组练透) 1．已知函数y＝f(x)的定义域为(0，1)，则函数F(x)＝f的定义域为(　　) A．(－∞，1)　　　　 B．(－∞，0)∪(0，1) C．(0，＋∞) D． 解析　∵y＝f(x)的定义域为(0，1)， ∴0<<1，即 ∴解得x<1且x≠0， ∴F(x)＝f的定义域为∪(0，1). 答案　B 2．函数f(x)＝＋lg 的定义域为____________． 解析　由已知可得解得－1<x<0.因此，函数f(x)的定义域为(－1，0). 答案　(－1，0) 3. 已知函数y＝f(x2－4)的定义域是，则函数y＝f的定义域为________． 解析　y＝f的定义域是，则x2－4∈， 即函数f(x)的定义域为，令2x＋1∈，解得x∈. 则函数y＝f的定义域为. 答案　 [练后悟通] 求函数定义域的两种方法 方法 解读 适合题型 直接法 构造使解析式有意义的不等式(组)求解 已知函数的具体表达式，求f(x)的定义域 转移法 若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a＜g(x)＜b即可求出y＝f(g(x))的定义域 已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域 若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的