周期问题的应用（讲义）-五年级上册数学人教版

周期问题的应用 妙招总结 在日常生活中有一些按照一定的规律不断重复的现象，如十二生肖、一年有春夏秋冬四个李节、一个星期有七天等等。像这样常碰到的按一定规律循环出现的问题，我们称为周期问题。周期问题的解题步骤：（1）观察、分析数、图形或事物的变化是否重复循环出现并具有周期性。（2）每几个循环一次，谁开始谁结束，周期是多少。（3）每个循环节按什么次序排列。（4）利用除法算式求出余数，根据余数得出正确的结果。 典例引路 1÷7的商的小数部分第100位上的数字是几？小数部分前100位的数字的和是多少． 【分析】首先找出1÷7的商的循环节，找出是几个数的循环，用100除以几，得到余数，根据余数判断， 6个数是一个周期，用100÷6＝16…4，每个周期的数字加起来的和乘16，再加前四个数字的和，即可得解． 【解答】解：1÷7＝0.1428571428571…＝0.4285， 1、4、2、8、5、7六个数的循环， 100÷6＝16…4 余数是4，第四个数是8． （1+4+2+8+5+7）×16+（1+4+2+8） ＝27×16+15 ＝432+15 ＝447 答：1÷7的商的小数部分第100位上的数字是8；小数部分前100位的数字的和是447． 【点评】此题考查了简单周期现象中的规律，求出小数的循环规律，是解决此题的关键． 妙招示例 技巧1 循环小数中的周期问题 1．13.5的小数部分第872位上的数字是几？小数部分前872个数字和是多少？ 【分析】这个小数的循环节是3位，求出872里面有多少个这样的循环节，还余几，根据余数判断第872位的数字是几；求出循环节的和，再根据循环节的个数，以及余数求出前872个数字的和． 【解答】解：13.5的小数部分的循环节是3位； 872÷3＝290…2； 余数是2，那么余下的这两个数分别是2和5；所以第872位上的数字是5． 2+5+8＝15； 15×290+2+5， ＝4350+2+5， ＝4357； 答：小数部分第872位上的数字是5，小数部分前872个数字和是4357． 【点评】解决这类问题往往是把重复出现的部分看成一组，先找出排列的周期性规律，再根据规律求解． 技巧2 数列中的周期问题 2．9个17相乘，所得的积的个位数字是　7　． 【分析】先将1，2，3，4，5…个7相乘，找出积的个位数字出现的规律，再根据规律写出9个17的个位数字即可解答． 【解答】解：17＝17，个位数字是7， 17×17＝289，个位数字是9， 17×17×17＝4913，个位数字是3， 17×17×17×17＝83521，个位数字是1， 17×17×17×17×17＝1419857，个位数字是7， … 个位数字按7，9，3，1依次出现，9÷4＝2…1．即9个17相乘所得积的个位数字与1个17相乘所得积的个位数字相同，是7． 故答案为：7． 【点评】本题主要考查积的尾数特征，找出尾数出现的规律是解答本题的关键． 3．将2002个学生按下列方法编号排成六列： 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 … 问：第2002个学生应站在第几列？ 【分析】除第一行1至6共6个数外，从第二行开始都是按5个数一个循环依次不断重复出现的；用（2002﹣6），再除以5，就能得出2002这个数除第一行外，经过了多少行，余数就是它所在的列。 【解答】解：2002﹣6＝1996 1996÷5＝399......1 所以第2002个学生应战在第一列。 答：第2002个学生应站在第一列。 【点评】解答本题的关键是根据题中所给的数列，找到规律，再根据规律作答。 技巧3 日期中的周期问题 4．2014年8月2日是星期六，那么2015年8月2日是星期几？ 【分析】先求2014年8月2日到2015年8月2日经过了多少天，再求这些天里有几周，还余几天，再根据余数判断． 【解答】解：2015年是平年，所以2014年8月2日到2015年8月2日经过了365天， 365÷7＝52（周）…1（天）， 余数是1，从星期六向后推1天是星期日； 答：2015年8月2日是星期日． 【点评】解决这类问题先求出经过的天数，再求经过的天数里有几周还余几天，再根据余数推算． 5．2002年5月份有4个星期六和5个星期五，那么2002年5月8日是星期几？ 【分析】2002年的5月份有31天，有4个星期六和5个星期五，所以2002年的5月最后一天是星期五，那么每月至少有4个星期，所以5月份的前三天，应分别是星期三、星期四、星期五，然后判断5月8日是星期几即可． 【解答】解：因为5月份有31天，有4个星期六和5个星期