8.2.1 随机变量及其分布列-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(苏教版2019选择性必修第二册)

8.2.1 随机变量及其分布列 一、随机变量与离散型随机变量 1、随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量. 2、离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量；通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z. 【注意】离散型随机变量的特征： （1）可以用数值表示； （2）试验之前可以判断其可能出现的所有值，但不能确定取何值； （3）试验结果能一一列出． 3、“三步法”判定离散型随机变量 （1）明确随机试验的所有可能结果； （2）将随机试验的试验结果数量化； （3）确定实验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是。 二、离散型随机变量的分布列 1、定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为，我们称X取每一个的概率，为X的概率分布列，简称分布列． 离散型随机变量的分布列可以用表格表示： X … P … 2、离散型随机变量分布列的意义和作用 （1）离散随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能值，而且也能看出取每一个值的概率的大小，从而反映出随机变量在随机试验中取值的分布情况，是进一步研究随机试验数量特征的基础。 （2）离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和。 3、离散型随机变量的分布列的性质 （1）； （2） 三、0-1分布 1、定义：对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”， 定义如果，则，那么X的分布列如表所示． X 0 1 我们称X服从两点分布或0－1分布． 【注意】随机变量X只取0和1，才是两点分布，否则不是． 2、两点分布的适用范围 （1）研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律； （2）研究某一随机事件是否发生的概率分布规律。 如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布来研究。 题型一 随机变量与离散型随机变量 【例1】（2022春·北京·高二期末）下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为（ ） ①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数； ②一个沿直线进行随机运动的质点离坐标原点的距离； ③某同学射击3次，命中的次数； ④某电子元件的寿命； A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【变式1-1】（2023·全国·高二专题练习）袋中有大小相同质地均匀的5个白球、3个黑球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（ ） A．至少取到1个白球 B．取到白球的个数 C．至多取到1个白球 D．取到的球的个数 【变式1-2】（2023·全国·高二专题练习）（多选）一副扑克牌共有54张牌，其中52张是正牌，另2张是副牌（大王和小王），从中任取4张，则随机变量可能为（ ） A．所取牌数 B．所取正牌和大王的总数 C．这副牌中正牌数 D．取出的副牌的个数 【变式1-3】（2022春·河北唐山·高二校考期中）给出下列各量： ①某机场候机室中一天的游客数量； ②某寻呼台一天内收到的寻呼次数； ③某同学离开自己学校的距离； ④将要举行的绘画比赛中某同学获得的名次； ⑤体积为8的正方体的棱长. 其中是离散型随机变量的是（ ） A．①②④ B．①②③ C．③④⑤ D．②③④ 【变式1-4】（2022·全国·高二专题练习）袋中装有除颜色外其余均相同的10个红球，5个黑球，每次任取一球，若取到黑球，则放入袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为，则表示“放回4个球”的事件为（ ） A． B． C． D． 题型二 分布列的性质及其应用 【例2】（2023春·河南商丘·高二商丘市实验中学校联考期中）已知随机变量的分布列为 0 1 则实数（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·江苏·高二专题练习）设是一个离散型随机变量，其分布列为 则等于（ ） A．1 B． C． D． 【变式2-2】（2023春·浙江·高二校联考期中）随机变量的分布列为，其中是常数，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023春·高二课时练习）设随机变量的概率分