微专题15 轻松搞定线面角问题-【微专题】2022-2023学年高一数学常考点微专题提分精练（人教A版2019必修第二册）

微专题15 轻松搞定线面角问题 【题型归纳目录】 题型一：定义法 题型二：等体积法 【方法技巧与总结】 线与面的夹角 ①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角． ②范围： ③求法： 常规法：过平面外一点做平面，交平面于点；连接，则即为直线与平面的夹角．接下来在中解三角形．即（其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）； 【典型例题】 题型一：定义法 例1．（2023·高一课时练习）如图，平面，在直角三角形中，，，，，求与平面所成角的正弦值. 例2．（2023·高一课时练习）如图,边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直,AD与CE的交点为M,,且AC=BC． (1)求证：平面EBC； (2)求直线EC与平面ABE所成角的正切值． 例3．（2023·高一课时练习）如图，已知正方体的棱长为2． (1)求直线和平面ABCD所成角的大小； (2)求直线和平面ABCD所成角的大小． 例4．（2023·高一单元测试）如图，在多面体中，、、均垂直于平面，，，，． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成的角的大小． 题型二：等体积法 例5．（2023·黑龙江大庆·高一铁人中学校考期末）在三棱台中， ， ， 侧面 平面 (1)求证： 平面； (2)求证： 是直角三角形； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 例6．（2023·浙江杭州·高一期末）如图，是由两个全等的菱形和组成的空间图形，，. （1）求证：； （2）如果二面角的平面角为，求直线与平面所成角的正弦值． 例7．（2023·浙江温州·高一乐清市知临中学校考期末）如图，空间四边形中，是正三角形，是直角三角形，点、分别是、的中点，且，. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值. 【过关测试】 一、单选题 1．（2023·高一课时练习）如图，二面角的大小是，线段，，与所成的角为，则AB与平面β所成的角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·吉林白山·高一抚松县第一中学校考阶段练习）已知如图，在三棱柱中，底面是等边三角形， ，在底面的射影为的中点，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）         A． B． C． D． 3．（2023·江苏连云港·高一连云港高中校考阶段练习）在四棱锥中，底面是矩形，底面，且，，则与底面所成角的正切值为（    ） A． B．3 C． D． 4．（2023·全国·高一期末）在正方体中，设直线与直线AD所成的角为，直线与平面所成的角为，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023·福建龙岩·高一福建省连城县第一中学校考阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 6．（2023·全国·高一期末）如图，圆锥中，、是圆上的不同两点，若，且二面角所成平面角为，动点在线段上，则与平面所成角的正切值的最大值为（    ） A．2 B． C． D．1 7．（2023·全国·高一专题练习）在三棱锥中，，点P到三角形三边的距离相等，且点P在平面上的射影落在三角形内，则与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（2023·高一课时练习）如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为______. 9．（2023·高一课时练习）已知为等腰直角三角形，为空间一点，且，的中点为，连接，则与平面所成的角的大小为_________. 10．（2023·高一单元测试）已知圆柱的体积是，点是下底面中心，底面半径为1，点是圆柱上底面圆周上的一点，则直线与圆柱底面所成角的大小为______。 11．（2023·全国·高一专题练习）已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值是______． 12．（2023·全国·高一专题练习）过平面外一点的斜线段是过这点的垂线段的倍，则斜线与平面所成的角是______． 13．（2023·高一课时练习）正方体中，与平面所成角大小为______． 三、解答题 14．（2023·高一课时练习）如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点M在上，且． (1)求证：平面平面PAC； (2)求证：平面PAC； (3)求直线PB与平面PAC所成的角的正弦值． 15．（2023·高一课时练习）如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，G为中点，E点在上，平面平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角． 16．（2023·高一课时练习）如图，四