微专题17 空间中的五种距离问题-【微专题】2022-2023学年高一数学常考点微专题提分精练（人教A版2019必修第二册）

微专题17 空间中的五种距离问题 【题型归纳目录】 题型一：点线距 题型二：异面直线的距离 题型三：点面距 题型四：线面距 题型五：面面距 【方法技巧与总结】 空间中的距离 求点到面的距离转化为三棱锥等体积法求解． 【典型例题】 题型一：点线距 例1．（广东省东莞市东莞一中、东莞高级中学2022-2023学年高一下学期第二次质量检测数学试题）设所在的平面，，PB、PC分别与成45°和30°角，，点P到BC的距离是_________________． 例2．（沪教版（2020）选修第一册领航者期末测试）已知正方体的棱长为1，则点B到直线的距离为_________． 题型二：异面直线的距离 例3．（安徽省马鞍山市第二中学2022-2023学年高一下学期期中素质模拟测试数学试题）如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，AA1＝1，点D是AB的中点. (1)求点B到平面B1CD的距离； (2)求异面直线AC1和B1C所成角的余弦值. 例4．（沪教版（2020）必修第三册高效课堂第十章10.5异面直线间的距离）已知S是矩形所在平面外一点，，，与所成角大小为，与所成角大小为，，分别求直线与的距离及与的距离． 例5．（沪教版（2020）必修第三册高效课堂第十章10.5异面直线间的距离）所有棱长都为1的四面体中，找到异面直线和的公垂线，求出和的距离． 例6．（沪教版（2020）必修第三册高效课堂第十章10.5异面直线间的距离）空间四边形中，，，，，，求异面直线和的距离． 例7．（沪教版（2020）必修第三册经典导学第10章10.5异面直线间的距离）如图，在长方体中，，，．求异面直线和距离． 题型三：点面距 例8．（2023·全国·高一专题练习）如图，四面体ABCD中，O，E分别是BD，BC的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，． (1)求证：平面BCD； (2)求点E到平面ACD的距离． 例9．（2023·高一课时练习）已知正方体的棱长为，求点到平面的距离． 例10．（2023·高一课时练习）如图，在直三棱柱中，，，.求点到平面的距离. 题型四：线面距 例11．（2023·高一课时练习）如图所示，三棱柱的各棱长均为4，侧棱垂直于底面，，，，分别为，，，的中点．求： (1)到平面的距离； (2)平面与平面之间的距离． 例12．（2023·高一课时练习）长方体中，，，，则到平面的距离为______． 例13．（2023·全国·高一专题练习）若正四棱柱的底面边长为，与底面成角，则到底面的距离为__________. 例14．（2023·全国·高一专题练习）已知正四棱柱中，，为的中点，则直线与平面的距离为________． 题型五：面面距 例15．（2023·高一课时练习）已知平面平面，点，，点，，若，且、在内射影长分别为5和16，则与间距离为______． 例16．（福建省厦门市2022-2023学年高一下学期质量检测（期末）数学试题）如图，棱长为2的正方体ABCD –A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，过E作平面，使得//平面BDF. (1)作出截正方体ABCD - A1B1C1D1所得的截面，写出作图过程并说明理由； (2)求平面与平面的距离. 例17．（福建省厦门市国祺中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题）如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，EF与相交于H． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求平面EGF与平面的距离． 例18．（2023·全国·高一专题练习）某中学开展劳动实习，对棱长为3的正方体木块进行加工.如图，学生需要分别过顶点A和对角线BD对正方体木块进行平面切割，两个切割面与棱，，，分别交于点M，F，E，N，要求两次切割所得到的截面平行，且，则两个截面间的距离为_____________. 例19．（2023·全国·高一专题练习）在长方体中，已知，，与平面ABCD所成角的大小是，那么平面ABCD到平面的距离是______． 【过关测试】 一、单选题 1．（2023·高一课时练习）已知平面平面，，，且直线与不平行.记平面､的距离为，直线､的距离为，则（    ） A． B． C． D．与大小不确定 二、多选题 2．（2023·云南曲靖·高一校考期末）棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BC，B1C1的中点．则下列结论正确的是（　　） A．三棱锥D﹣EFG的体积为 B．平面B1BD⊥平面ACD1 C．P点在直线BC1上运动时，三棱锥A﹣D1PC体积不变； D．Q点在直线EF上运动时，直线GQ始终与平面AA1C1C平行； 三、解答题 3．（2023·高一课时练习）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD