16 小专题4 与圆的基本性质有关的计算与证明-【一课通】2022-2023学年九年级上册数学随堂小练习(青岛版)

8 小专题4与圆的基本性质有关的计算与证明 一、与垂径定理有关的计算 1.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E,∠CEA=30°，OE=4,DE=53,求弦CD及⊙O 的半径的长 CA 2.如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB=60m,拱高PD=18m. (1)求圆弧所在的圆的半径r的长： (2)当洪水泛滥到跨度只有30m时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4m,即PE=4m时，是否 要采取紧急措施？ 二、与弧、弦、圆心角有关的证明 3.如图，已知AB为⊙O的直径，M,N分别为OA,OB的中点，C,D是⊙O上的点，CM⊥AB,DN⊥AB, 垂足分别为M,N,连接OC,OD,求证：AC=BD 59 三、与圆周角有关的计算与证明 4.如图，在⊙O中，P为AB的中点，弦AD,PC互相垂直，垂足为M,BC分别与AD,PD相交于点E,N, 连接BD,MN.求证：N为BE的中点. 0。 5.如图，在△ABC中，AC=BC,D是AB上一点，⊙O经过点A,C,D,交BC于点E,过点D作DF∥ BC,交⊙O于点F. 求证：(1)四边形DBCF是平行四边形： (2)AF=EF. 6.如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC,BC的交点分别为点D,E,且DE=BE (1)试判断△ABC的形状，并说明理由： (2)已知半圆的半径为5，BC=12,求sin∠ABD的值. 0 错题整理与反思： 60又，AB=AC,.BC=2EC=4√3. :∠ABC=∠EDC,∠C=∠C, ∴.△ABC∽△EDC AB:ED=BC:CD,即AB=4y3 233 .AB=8. 2.解：(1)如图，连接OA. 由题意，得AD=2AB=-30,0D=一18， 在R△ADO中， 由勾股定理，得产=30+（一18）° 解得r=34. 思维升级 8.证明：(1)：四边形ABCD内接于圆， .∠CDE=∠ABC 由圆周角定理，得∠ACB=∠ADB. (2)如图，连接0A' 又，∠ADB=∠FDE, 由题意，得OE=OP-PE=30(m). ∴.∠ACB=∠FDE 在R△A'EO中， ,AB=AC,∴.∠ACB=∠ABC. 由勾股定理，得A'E=A'O-0E=342-30. ∴.∠FDE=∠CDE,即DE平分∠CDF 解得A'E=16m (2),∠ACB=∠ABC. .A'B=32m. ∴.∠CAE+∠E=∠ABD+∠DBC. A'B=32m, 又，∠CAE=∠DBC, 3230, .∠E=∠ABD ∴，不需要采取紧急措施 ∴∠ACD=∠E 3.证明：，OA=OB,M,N分别为OA,OB的中点， 又·∠CAD=∠EAC, ∴.OM=ON. .△ACD△AEC 在R△COM和R△DON中， .AC9=AD·AE OM=ON. 小专题4与圆的基本性质有关的计算与证明 OC=OD. ∴.Rt△COM≌Rt△DON. L.解：如图，过点O作OM⊥CD于点M,连接OD, ∴.∠COM=∠DON. ∠CEA=30°，∴.∠OEM=∠CEA=30. ∴AC=D. 在R1△OEM中，.OE=4, 4.证明：，AD⊥PC,∴.∠EMC=90° 0M=20E=2, P为B的中点，∴=B. ∴.∠ADP=∠BCP. EM=OE·os30°=4x5=2V5. 2 :∠CEM=∠DEN. ∴.∠DNE=∠EMC=90°=∠DNB. DE=5√3， A=PB.∠BDP=∠ADP ∴.DM=DE-EM=3√3. ∴.∠DEN=∠DBN. ,OM过圆心，OM⊥CD. ..DE=DB...EN=BN. ∴.CD=2DM=6V3. N为BE的中点. 在R△DOM中， 5.证明：(1)，AC=BC,∴.∠BAC=∠B ,OM=2,DM=33. DF∥BC.∠ADF=∠B. ∠BAC=∠CFD,∠ADF=∠CFD, ∴.OD=OM+DM=√2+(33)2=√3I. .BD∥CF. .弦CD的长为63，⊙O的半径长为√3I. :DF∥BC, 122 ∴四边形DBCF是平行四边形．2.<ⅳ= （2)如图，连接AE。知识探究 ∵∠ADF=∠B，∠ADF=∠AEF，解：如图。作AD⊥BC于点D． ∴∠AEF=∠B。 ∵四边形AECF是⊙O的内接四边形， _∵AB=AC=10.AD⊥BC，BC=12， ∴∠ECF+∠EAF=180°． ∴BD=6． ∵BD/CF，∴∠ECF+∠B=180°． 在Rt△ABD中， 根据勾股定理。得AD=\sqrt{AB}-BD=\sqrt{10}-6=8 ∴∠EAF=∠B.∴∠AEF=∠EAF． AD=8为圆心到直线的距离d。 ∴AF=EF． A_（1)当r=6时，d>r，则直线和圆相离； （2)当r=8时，d=r，则直线和圆相切； （3)当r=12时，d<r。则直线和圆相交。