05 小专题2 等积式与比例式的证明-【一课通】2022-2023学年九年级上册数学随堂小练习(青岛版)

>8 小专题2等积式与比例式的证明 一、直接利用三角形相似证明比例式或等积式 DC CF 1.如图，在口ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于点F,求证：EA一AD 2.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,∠B=90°，点P在BC边上，当∠APD=90时，求证：BP·PC= AB·CD. 3如图，已知部-S试说明OB0D=0C·0E 二、通过中间线段证明比例式或等积式 4.如图，在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，BD是△ABC的角平分线.求证：AD=CD·CA. 17 5.已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E,过点E作AC的垂线交边BC于 点F,与AB的延长线交于点M,且AB·AM=AE·AC 求证：DE=EF·EM 6.已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,E是DB延长线上的一点，且EA= EC,分别延长AD,EC交于点F,且∠AEC=2∠BAC.求证：EC·CF=AF·AD. 三、通过中间比证明比例式或等积式 7元如图，DE/C分别交AB,AC于点D,E连接CD,BE交于点Q求证裙品 8.如图，在△ABC中，已知∠A=90°，AD⊥BC于点D,E为直角边AC的中点，过点D,E作直线交AB 的延长线于点F,求证：AB·AF=AC·DF. 错题整理与反思： 18点G是AC的中点AG=号AD ∴.矩形EFGH的周长为2×(9+6)=30(cm). 6.解：(1)证明：，AF,AG分别是△ABC和△ADE AD=AB治-提-号 的高， ∴.AF⊥BC,AGLDE. ,∠BAG=∠CAB.∴.△GAB∽△BAC .∠AFB=90°，∠AGD=90° (2)△GAB△BAC, .∠BAF+∠B=90°，∠DAG+∠ADG=90°. 慨格竖 ∠BAF=∠DAG,.∴∠B=∠ADG 又，∠EAD=∠CAB.∴.△ABC∽△ADE 6.证明：由旋转的性质可知∠B=∠AB'C',∠ACB= ∠ACB,AB=AB,AC=AC (2)△ADE△ABC.AP-DE AB BC ∴.∠CAC=∠CB'C. AD2 :∠BAC=∠BAC', 、4指=后·D运—3，.5一.门 .∠BAB=∠CAC ..BC=15 ∴.∠B=∠AB'B=∠ABC'=∠ACC,∠BAC 思维升级 ∠B'C'C 7.A【解析】，在□ABCD中.CD=AB=10,BC=AD ∴.△ABE△CCE,△ABB∽△ACC =15,∠BAD的平分线交BC于点E, 7.解：(I)3Rt△EPB,Rt△PDF,Rt△EAF ,∴.AB∥DC,∠BAF=∠DAF. (2)答案不唯一.如： .∠BAF=∠F.∠DAF=∠F ,四边形ABCD是正方形. ∴.DF=AD=15. ∴·∠EBP+∠PBC=∠C=90 同理BE=AB=10. ∠PBC+∠BPC=90°， ∴.CF=DF-CD=15-10=5. .∠EBP=∠BPC 在R△ABG中，BG LAE,AB=10,BG=8, 又，∠BPE=∠C=90, ∴.AG=6. ,.Rt△EPBOORu△BCP. ∴.AE-2AG=12. 1.3相似三角形的性质 .△ABE的周长等于10+10+12=32. 【边学边练】 ,四边形ABCD是平行四边形， 知识清单 .AB∥CF. 相似比相似比的平方 ,.△CEF)△BEA,相似比为5：10=1：2. 知识探究 .△CEF的周长为16.故选A. 1.B2A39 小专题2等积式与比例式的证明 【随堂小测】 1,证明：，四边形ABCD是平行四边形， 1.B2C3照48 ∴.AE∥DC,∠A=∠C ∴.∠CDF=∠E. 5.解：在矩形EFGH中，EH∥FG,EH=GF, ∴.△DAEO△FCD. ∴.△AEH∽△ABC. 又.AD⊥BC, 紧恶 ∴.AM⊥EH. 2.证明：：AB∥CD,∠B=90°， 股微 .∠C=90°.∠B=∠C. 又：∠APD=90°，∠BAP+∠APB=90°， 设EH=3.x,则MD=EF=2.x,AM=12-2x ∴.∠APB+∠DPC=90° -2 ∴.∠BAP=∠CPD. '.△ABP∽△PCD. 解得x=3 .'.EH=3x=9 cm,EF=2x=6 cm. 混部 110 ∴.BP·PC=AB·CD 0器器品 A证明：8能∠A=∠A, .△BAD∽△CAE 温品 ∠B=∠C 8.证明：，∠BAC=90°，AD⊥BC, ∠BOE=∠COD, ∴.△CBAC∽△ABD. .△BOE∽△COD. 部福 咒器 .AB:AC=BD:AD.① .OB·OD=OC·OE ∴∠C=∠FAD. 4.证明：，∠A=36°，∠C=72, 又，E为AC的中点，AD⊥IBC, ∴.∠ABC=72,即AB=AC ED=专AC-EC