2023年九年级中考数学复习二次函数背景下的倍角问题

中考专题复习——二次函数背景下的倍角问题 前言:二次函数背景下的角度特殊数量关系的存在性问题，是各地中考和模拟考试压轴题的热点问题，这种类型的题目综合性较强,更重要的是涉及方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论等重要的思想方法，对学生分析、解决问题的能力具有较高的要求。 思 路 探 究 在坐标系中构造已知角的半角或二倍角，角可以单独出现，也可以存在于某个几何图形中，因此，构造半角、二倍角的方法也并不唯一，常用如下： 引例探究： 平面直角坐标系中，抛物线y=bx2+bx+8交x轴于点A、B，交y轴于点C，且AB=AC，tan∠CBA=2， (1)求抛物线的解析式； (2)在x轴上方抛物线上有一点P,若∠CAB=2∠PAB,求P点坐标; (3)抛物线上一点P,若∠ACO=2∠PCO,求P点坐标; (4)抛物线上一点P，若∠PCA=2∠BC0,求P点坐标； (5)若D为AC中点，抛物线上一点P,满足∠CDP=3∠BCO,求P点坐标. 中考真题 （一） 转化为等角 如图，在平面直角坐标系中，直线与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，抛物线经过 A、B 两点且与 x 轴的负半轴交于点 C． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点 D 为直线 AB 上方抛物线上的一个动点，当∠ABD=2∠BAC 时，求点 D 的坐标． （二） 特殊角的三角函数值 例：如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒． （1）当t=2时，线段PQ的中点坐标为　 　； （2）当△CBQ与△PAQ相似时，求t的值； （3）当t=1时，抛物线y=x2+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD=∠MKQ？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由． 　 （三） 半角三角函数计算 例：如图所示・二次函数的图像与一次函数的图像交于A、B两点，点B在点A的右側，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0. （1）求A、B两点的横坐标； （2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值； （3）二次函数图像的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由. （四） 构造旋转得定角 例：如图，抛物线 y=ax2+2x+c（a<0）与 x 轴交于点 A 和点 B（点 A 在原点的左侧，点 B 在原点的右侧），与 y 轴交于点 C，OB=OC=3． （1）求该抛物线的函数解析式． （2）如图 2，点 E 的坐标为（0，-3/2），点 P 是抛物线上的点，连接 EB，PB，PE 形成的△PBE 中，是否存在点 P，使∠PBE 或∠PEB 等于 2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． （五） 构造等腰三角形 例：如图，抛物线 y=ax2+6x+cx 轴于A、B 两点，交 y 轴于点 C．直线 y=x-5 经过点 B、C． （1）求抛物线的解析式； （2）过点 A 的直线交直线 BC 于点 M，连接 AC，当直线 AM 与直线 BC 的夹角等于∠ACB 的 2 倍时，请直接写出点 M 的坐标． 强化训练： 如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于AB两点，交y轴于点C.直线y=x- 5经过点B、C. (1)求抛物线的解析式. (2)过点A的直线交直线BC于点M.当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P (不与点B, C重合)，作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A, M, P, Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标； (3)连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $