专题十一11.5变量间的相关关系、统计案例课件——2023届高三数学一轮复习

11.5专题十一、变量间的相关关系，统计案例 知识梳理 基础篇 考点一　变量间的相关关系 1.线性相关 一般地,如果两个变量的取值呈现正相关或负相关,而且散点落在一条直 线附近,称这两个变量线性相关. 2.线性经验回归方程与最小二乘法 设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(x1,y1),(x2,y2),…, (xn,yn),由yi=bxi+a+ei(i=1,2,…,n),得|yi-(bxi+a)|=|ei|,显然|ei|越小,表示样本数 据点离直线y=bx+a的竖直距离越小. 通常用各散点到直线的竖直距离的平方之和Q= 来刻画各 样本观测数据与直线y=bx+a的“整体接近程度”. 当a,b的取值为  时, Q达到最小.将 = x+ 称为Y关于x的经验回归方程,也称经验回归函数或 经验回归公式,其图形称为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫 做最小二乘法,求得的 , 叫做b,a的最小二乘估计. 经验回归直线一定过点( , ). 1) . 2)r>0,表示成对样本数据正相关,散点图中点的分布从左下角到右上角;r< 0,表示成对样本数据负相关,散点图中点的分布从左上角到右下角. 3)|r|越接近于1,成对样本数据的线性相关程度越强. 4.刻画回归效果的方式 1)残差图法 在残差图中,残差比较均匀地落在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状 3.样本相关系数r 区域内,说明选用的模型比较合适,这样的带状区域的宽度越窄,说明模型 拟合精度越高. 2)残差平方和法 残差平方和为 (yi- )2,残差平方和越小,模型拟合效果越好. 3)利用R2刻画拟合效果 R2=1- . R2越大,模型的拟合效果越好,R2越小,模型的拟合效果越差. 考点二　独立性检验 1.2×2列联表 假设两个分类变量X和Y,它们的可能取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其2×2列 联表为 X Y 合计 y1 y2 x1 a b a+b x2 c d c+d 合计 a+c b+d a+b+c+d 2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数. X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 a b a+b X=1 c d c+d 合计 a+c b+d n=a+b+c+d 2.独立性检验 1)假定通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表,如表所示. 则χ2= . 2)χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 综合篇 考法一　经验回归方程的求解与应用 1.求经验回归方程的步骤 1)计算出 、 、 + +…+ 、x1y1+x2y2+…+xnyn; 2)计算 、 ; 3)写出经验回归方程 = x+ . 2.经验回归方程的应用 1)若已知经验回归方程(方程中无参数),则把自变量代入经验回归方程即 可对因变量进行预测. 2)若经验回归方程中有参数,则根据经验回归直线一定经过点( , )求出 参数值,得到经验回归方程,进而完成预测. 例1    (2016课标Ⅲ,18,12分)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化 处理量(单位:亿吨)的折线图.   注:年份代码1~7分别对应年份2008~2014. (1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以 说明; (2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无 害化处理量. 附注: 参考数据: yi=9.32, tiyi=40.17, =0.55, ≈2.646. 参考公式:相关系数 r= , 回归方程 = + t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: =  , = -  . 解析    (1)由折线图中数据和附注中参考数据得  =4, (ti- )2=28, =0.55,  (ti- )(yi- )= tiyi-  yi=40.17-4×9.32=2.89, r≈ ≈0.99. (4分) 因为y与t的相关系数近似为0.99,说明y与t的线性相关程度相当高,从而可 以用线性回归模型拟合y与t的关系. (6分) (2)由 = ≈1.331及(1)得 = = ≈0.103, = -  =1.331- 0.103×4≈0.92. 所以,y关于t的回归方程为 =0.92+0.10t. (10分) 将2016年对应的t=9代入回归方程得 =0.92+0.10×9=1.82. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨. (12分) 考法二　独立性检验的应用 独立性检验的一般步骤 1.提出零假设H0:X和Y相互独立,并给出在问题中的解释. 2.根据抽样数据整理出2×2列联表,计算χ2的值,并与临界