专题十一11.2离散型随机变量及其分布列，均值与方差课件——2023届高三数学一轮复习

11.2专题十一、离散型随机变量及其分布列，均值与方差 知识梳理 基础篇 考点　离散型随机变量及其分布列、均值与方差 1.离散型随机变量的分布列 1)一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X (ω)与之对应,我们称X为随机变量,可能取值为有限个或可以一一列举的 随机变量,我们称为离散型随机变量. 2)一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个 值xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称分布列.用表格表 示如表: X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 其中,pi≥0,i=1,2,…,n;p1+p2+…+pn=1. 2.两点分布 如果随机变量X的分布列为 X 1 0 P p 1-p 则称离散型随机变量X服从两点分布或0—1分布. 3.超几何分布 一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n 件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=k)=  ,k=m,m+1,m+2,…,r.其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N +M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机 变量X服从超几何分布. 4.离散型随机变量的均值与方差 1)均值定义:一般地,若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn= xipi为随机变量X的均值或数学期望,它反映了 离散型随机变量取值的平均水平. 2)方差定义:D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn- = (xi-E(X))2pi 为随机变量X的方差, 为随机变量X的标准差,记作σ(X).它们都可以 度量随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度. 3)性质:E(aX+b)=aE(X)+b; D(aX+b)=a2D(X),其中a,b∈R; D(X)=E(X2)-[E(X)]2. 4)两点分布的均值与方差 E(X)=p,D(X)=p(1-p). 5)超几何分布的均值 E(X)= =np. 综合篇 考法　求离散型随机变量的均值与方差的方法 求解离散型随机变量的均值与方差的一般步骤 1)判断取值:判断随机变量的所有可能取值及取每个值所表示的意义; 2)探求概率:利用排列组合、列举法、概率公式,求出随机变量取每个值 时的概率; 3)写出分布列:按规定形式写出分布列,注意检验所求的分布列或事件的 概率是否正确; 4)求值:利用离散型随机变量的均值与方差的定义求值. 例1    (2022湖北重点高中联考,18)中国载人航天工程办公室发布消息,为 发挥中国空间站的综合效益,中国首个太空科普教育品牌“天宫课堂” 正式推出.中国空间站首次太空授课活动于2021年12月9日面向全球进行 直播.为了了解学生对此次直播课的观看情况,现从高三某班随机选取10 名学生进行调查,发现有6名学生观看了直播,4名学生未观看直播. (1)若从这10名学生中任选2名学生,求至多有1名学生未观看直播的概率; (2)若从这10名学生中任选3名学生,记其中观看了直播的学生人数为X,求 X的分布列和数学期望. 解析    (1)设“从10名学生中任选2名学生,至多有1名学生未观看直播” 为事件A, 则P(A)= = . (2)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2,3, P(X=0)= = ,P(X=1)= = , P(X=2)= = ,P(X=3)= = , 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P         所以E(X)=0× +1× +2× +3× = . 例2    (2023届广东汕头潮阳实验学校、湛江一中、深圳实验学校三校联 考,20)在一个口袋中装有编号分别为1,2,3,4,5的五张卡片,这些卡片除编 号不同外其他都相同,从口袋中有放回地摸卡片3次. (1)求3次摸出卡片的数字之和为奇数的概率; (2)记这3次中摸出卡片的最大编号数为随机变量X,求X的分布列及数学 期望. 解析    (1)要使3次摸出卡片的数字之和为奇数,则有1次或3次摸出的是编 号为奇数的卡片,所以所求概率P= + = . (2)依题意X的可能取值为1、2、3、4、5, P(X=1)= = ,P(X=2)= = ,P(X=3)= = ,P(X=4)= =  ,P(X=5)= = , 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P           所以E(X)=1× +2× +3× +4× +5× = . 11.2专题十一、离散型随机变量及其分布列，均值与方差 习题精练 基础篇 考点　离散型随机变量及其分布列、