专题13 轻松搞定线面角问题-2022-2023学年高一数学新教材同步配套教学讲义（人教A版2019必修第二册）

专题13 轻松搞定线面角问题 【题型归纳目录】 题型一：定义法 题型二：等体积法 【方法技巧与总结】 线与面的夹角 ①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角． ②范围： ③求法： 常规法：过平面外一点做平面，交平面于点；连接，则即为直线与平面的夹角．接下来在中解三角形．即（其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）； 【典型例题】 题型一：定义法 例1．（2023·全国·高一专题练习）如图的四面体中，所以棱长均相等，每个面都是全等的正三角形，分别是棱的中点，则直线与平面所成角的大小为______. 【答案】 【解析】 如图，连接， 由题意得，四面体为正四面体， 所以，， 因为与点，平面，平面， 所以平面， 所以直线与平面所成角的大小为. 故答案为：. 例2．（2023·浙江宁波·高一宁波市北仑中学校考期中）如图，长方体，，，，是棱上的一个动点，若点运动到棱靠近的一个三等分点时，恰有，求此时与平面所成的角__________． 【答案】 【解析】长方体中，因为，， 所以，，， 因为底面，平面，所以， 所以与平面所成的角为， ， 由条件可得，解得， 因此， 因为， 所以，与平面所成的角为， 故答案为： 例3．（2023·全国·高一专题练习）正方体中，直线与平面所成角大小为______． 【答案】30°/ 【解析】如下图，由正方体性质知：，且，即， 又面，面，故， 由，面，故面， 所以为直线与平面所成角的平面角，显然， 又，故. 故答案为： 例4．（2023·高一课时练习）已知直角的斜边在平面内，、与所成角分别为，是斜边上的高，则与平面所成角的正弦值为______. 【答案】 【解析】如图所示：过作于，连接, 则为与平面所成角， 由题意可得 设， 则有， 所以， 又因为是斜边上的高， 由， 可得， 在中， . 故答案为： 题型二：等体积法 例5．（2023·黑龙江大庆·高一铁人中学校考期末）在三棱台中， ， ， 侧面 平面 (1)求证： 平面； (2)求证： 是直角三角形； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】(1)四边形中，因为，故四边形为梯形，，故，，且，故，又，故，故.又侧面平面，且交线为，故平面 (2) 在上取一点使得，设，连接.因为，则由余弦定理可得，解得，因为，故.由（1）平面，平面，故，又，平面，故平面.又平面，故.又梯形中，根据平行线中两三角形的性质有，故，又，故，故，故.故是直角三角形 (3)由（2），，故，故到的距离为.设到的距离为，则因为，即，所以，解得.设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为 例6．（2023·浙江杭州·高一期末）如图，是由两个全等的菱形和组成的空间图形，，. （1）求证：； （2）如果二面角的平面角为，求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）证明：如图，取的中点，连接、， 在菱形中，，是正三角形， ，同理在菱形中，可证， 因为，平面，平面 平面， 因为平面 ， 又，． （2）由（1）知，是二面角的平面角， 即，又， 是正三角形，故有， 如图，取的中点，连接，则， 又由（1）得， 平面，且， 又，在直角中，， ， 设到平面的距离为， 则， ， 解得， 故直线与平面所成角正弦值为． 例7．（2023·浙江温州·高一乐清市知临中学校考期末）如图，空间四边形中，是正三角形，是直角三角形，点、分别是、的中点，且，. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）因为，所以， 又因为，所以， 连接，正，不妨设边长为， 又因为，所以， ， 平面. （2）不妨设，在中， 在中， ，可得， 在中，，，， 由中可得，点到平面距离为， . 【过关测试】 一、单选题 1．（2023·高一课时练习）正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，在正四棱锥中，为的中心， 则底面，为边上的中线，， 所以即为侧棱与底面所成角的平面角， 设正四面体的棱长为， 则， 在中，， 即正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值是. 故选：C. 2．（2023·全国·高一专题练习）在正方体中，若点是面的中心，则与平面所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取中点，连接 为侧面的中心，平面， 与平面所成角即为， 设正方体棱长为， 则，，， ， 即与平面所成角的余弦值为. 故选：C. 二、填空题 3．（2023·全国·高一专题练习）如图，在长方体中，，与所成的角为，则与平面所成角的正弦值为________ 【答案】/0.5 【解析】因为在长方体中，， ∴上下底面为正方形， 连接，则，与所成的角为， ∴与所形成的角为，即， ∴为正方形，为正方体，