专题九9.4抛物线及其性质课件——2023届高三数学一轮复习

9.4专题九、抛物线及其性质 知识梳理 基础篇 考点一　抛物线的定义及标准方程 1.定义:把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的 点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准 线. 2.标准方程:焦点在x轴上:y2=±2px(p>0); 焦点在y轴上:x2=±2py(p>0). 考点二　抛物线的几何性质 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形         范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R x∈R,y≥0 x∈R,y≤0 准线 x=-  x=  y=-  y=  焦点         对称性 关于x轴对称 关于y轴对称 顶点 (0,0) 离心率 e=1 焦半径长 x0+  -x0+  y0+  -y0+  焦点弦长 x0+x1+p -(x0+x1)+p y0+y1+p -(y0+y1)+p 其中P(x0,y0),Q(x1,y1)是抛物线上两动点,且PQ过焦点F,线段PF称为抛物线 的焦半径,线段PQ称为抛物线的焦点弦. 考点三　直线与抛物线的位置关系 1.直线与抛物线的位置关系 设直线l:y=kx+b,抛物线y2=2px(p>0),直线与抛物线交点的个数等价于方程 组 解的个数,也等价于方程ky2-2py+2bp=0解的个数. 1)当k≠0时,若Δ>0,则直线和抛物线相交,有两个公共点;若Δ=0,则直线和 抛物线相切,有一个公共点;若Δ<0,则直线和抛物线相离,无公共点. 2)当k=0时,直线y=b与抛物线y2=2px(p>0)相交,有一个公共点. 3)特别地,当直线l的斜率不存在时,设l:x=m,则当m>0时,l与抛物线相交,有 两个公共点;当m=0时,l与抛物线相切,有一个公共点;当m<0时,l与抛物线 相离,无公共点. 2.焦点弦的性质 以抛物线y2=2px(p>0)为例,设AB是过抛物线焦点F的一条弦,AB所在直线 的倾斜角为θ,A(x1,y1),B(x2,y2),A、B在准线上的射影为A1、B1,则有以下结 论: 1)x1x2= ,y1y2=-p2; 2)若A位于x轴上方,B位于x轴下方,则|AF|= ,|BF|= ; 3)|AB|=x1+x2+p= ,抛物线的通径长为2p,通径是最短的焦点弦; 4)S△AOB= ; 5) + = 为定值; 6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切; 7)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切. 3.弦中点 AB为抛物线的一条弦,其中点为M(x0,y0). 1)若抛物线为y2=2px,则kAB= ; 2)若抛物线为x2=2py,则kAB= . (其中p≠0,y0≠0) 综合篇 考法一　利用抛物线的定义解题   例1    (2022广东茂名调研五,14)已知圆C:x2+y2+6x+8y+21=0,点A是圆C上 任一点,抛物线y2=8x的准线为l,设抛物线上任意一点Р到直线l的距离 为m,则m+|PA|的最小值为　　　    . 解析　由圆C:x2+y2+6x+8y+21=0可得圆心C(-3,-4),r=2. 设y2=8x的焦点为F,则F(2,0),l:x=-2,   过点P作PH⊥l于点H,则|PH|=m,由抛物线的定义可知|PH|=|PF|,所以m+| PA|=|PH|+|PA|=|PF|+|PA|≥|FC|-r=|FC|-2= -2= -2,当且 仅当P,F,C(P在线段FC上)三点共线时等号成立,所以m+|PA|的最小值为  -2. 答案     -2 考法二　直线与抛物线的位置关系问题   例2    (多选)(2022辽宁名校联盟联考,12)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的准线 l的方程为y=-1,过C的焦点F的直线与C交于A,B两点,以A,B为切点分别作 C的两条切线,且两切线交于点M,则下列结论正确的是 (　    ) A.C的方程为x2=2y B.∠AMB=90° C.M恒在l上 D.|MF|2=|AF|·|BF| 解析　由题意得- =-1,所以p=2,因此C的方程为x2=4y,A项错误;由题意可 知直线AB的斜率存在,F(0,1),设AB的方程为y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),由  得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.由y= x2得y'= x,所以AM的斜 率为kAM= x1,所以AM的方程为y-y1= x1(x-x1),即y-  = x1(x-x1)①,同理BM 的斜率为kBM= x2,所以BM的方程为y-  = x2(x-x2)②,所以kAMkBM= x1x2=- 1,即AM⊥BM,所以∠AMB=90°,B项正确;由①②得(x2-x1)y= x1x2(x2-x