专题九9.3双曲线及其性质课件——2023届高三数学一轮复习

9.3专题九、双曲线及其性质 知识梳理 基础篇 考点一　双曲线的定义及标准方程 1.定义 把平面内与两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数2a(0<2a<|F1F2|) 的点的轨迹叫做双曲线. 2.标准方程 焦点在x轴上: - =1(a>0,b>0); 焦点在y轴上: - =1(a>0,b>0). 3.焦点三角形问题 1)P为双曲线上的点,F1,F2为双曲线的两个焦点,且∠F1PF2=θ,则 =  =c|yP|. 2)过焦点F1的直线与双曲线的一支交于A、B两点,则A、B与另一个焦点 F2构成的△ABF2的周长为4a+2|AB|. 3)若P是双曲线右支上一点,F1、F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min= a+c,|PF2|min=c-a. 4)P是双曲线 - =1(a>0,b>0)右支上不同于实轴端点的任意一点,F1、 F2分别为双曲线的左、右焦点,I为△PF1F2内切圆的圆心,则圆心I的横坐标 恒为定值a. 考点二　双曲线的几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程  - =1 (a>0,b>0)  - =1 (a>0,b>0) 图形     范围 |x|≥a |y|≥a 焦点 F1(-c,0)、F2(c,0) F1(0,-c)、F2(0,c) 顶点 A1(-a,0)、A2(a,0) A1(0,-a)、A2(0,a) 对称性 关于x轴、y轴对称,关于原点对称 实、虚 轴长 实轴长为2a,虚轴长为2b 离心率 双曲线的焦距与实轴长的比e=  渐近线 方程 y=± x y=± x 常见结论 1.等轴双曲线:中心在原点,以坐标轴为对称轴,实轴长和虚轴长相等的双 曲线叫做等轴双曲线.等轴双曲线的离心率e= ,两条渐近线互相垂直. 2.共轭双曲线的性质:如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲 线的虚轴和实轴,那么这两条双曲线互为共轭双曲线.①它们有共同的渐 近线;②它们的四个焦点共圆;③它们的离心率的倒数的平方和等于1. 3.焦点到渐近线的距离为b. 考点三　直线与双曲线的位置关系 　　直线与双曲线的位置关系主要是指公共点问题,相交弦问题及其他 综合问题,常用下面的方法解题: 联立双曲线C的方程 - =1(a>0,b>0)与直线l的方程y=kx+m(m≠0),消去 y,整理得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0. 1)当b2-a2k2=0,即k=± 时,直线l与双曲线C的一条渐近线平行,直线l与双曲 线C只有一个交点. 2)当b2-a2k2≠0,即k≠± 时,一元二次方程根的判别式为Δ, ①当Δ>0时,直线与双曲线有两个公共点M(x1,y1),N(x2,y2),则可结合根与系 数的关系,利用|MN|= = 求弦长; ②若Δ=0,则l与C相切; ③若Δ<0,则l与C相离. 综合篇 考法一　求双曲线的标准方程 1.定义法:由已知条件,若所求轨迹满足双曲线的定义,则利用双曲线的定 义求出参数a,b的值,从而得到所求的轨迹方程,求轨迹方程时,满足条件 “|PF1|-|PF2|=2a(0<2a<|F1F2|)”的轨迹为双曲线的一支,应注意合理取舍; 2.待定系数法:根据题目条件确定焦点的位置,从而设出所求双曲线的标 准方程,利用题目条件构造关于a,b的方程(组),解得a,b的值,即可求得方 程. 方程的常见设法: 1)与双曲线 - =1(a>0,b>0)渐近线相同的双曲线方程可设为 - =λ (λ≠0); 2)过两个已知点的双曲线方程可设为mx2+ny2=1(mn<0)或mx2-ny2=1(mn>0). 例1    (2022辽宁鞍山一中月考,13)与椭圆 + =1有公共焦点,且离心率 e= 的双曲线方程为　　　　　    . 解析　由题意得焦点坐标为(0,-5),(0,5). 由题意设双曲线方程为 - =1(a>0,b>0),则 得 所以b2=c2-a2 =25-16=9,所以双曲线方程为 - =1. 答案     - =1 例2    (2022广东茂名调研三,14)若双曲线经过点(1, ),其渐近线方程为y =±2x,则双曲线的方程是　　　    . 解析　①若双曲线的焦点在x轴上,则设 - =1(a>0,b>0),则 - =1且  =2,联立解得a= ,b=1,则双曲线的方程为4x2-y2=1; ②若双曲线的焦点在y轴上,则设 - =1(a>0,b>0),则 - =1,且 =2,此 时无解. 综上,双曲线的方程为4x2-y2=1. 答案    4x2-y2=1 考法二　求双曲线的离心率(或范围) 求双曲线离心率的值或取值范围的常用方法 1.利用公式e= = = = 求解. 2.列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助b2=c2-a2消去b,然后转化为