专题九9.2椭圆及其性质课件——2023届高三数学一轮复习

9.2专题九、椭圆及其性质 知识梳理 基础篇 考点一　椭圆的定义及标准方程 1.定义 把平面内与两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫 做椭圆. 2.标准方程 焦点在x轴上: + =1(a>b>0); 焦点在y轴上: + =1(a>b>0). 3.焦点三角形 1)P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点,F1,F2为椭圆的两焦点,则  =b2tan ,其中θ为∠F1PF2.△PF1F2的周长为2(a+c). 2)过焦点F1的弦AB与椭圆另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a. 考点二　椭圆的几何性质 1.椭圆的几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准 方程  + =1(a>b>0)  + =1(a>b>0) 图形     焦点 坐标 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) 对称 性 关于x轴、y轴对称,关于原点对称 顶点 坐标 A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0) 范围 |x|≤a,|y|≤b |x|≤b,|y|≤a 长轴、 短轴 长轴A1A2长为2a,短轴B1B2长为2b 离心 率 椭圆的焦距与长轴长的比e=  2.常用结论 1)设P,A,B是中心在原点,焦点在x轴上的椭圆上不同的三点,其中A,B两点 关于原点对称,且直线PA、PB的斜率都存在,则kPAkPB=- . 2)P是椭圆上一点,F为椭圆的焦点,则|PF|∈[a-c,a+c],即椭圆上的点到焦 点距离的最大值为a+c,最小值为a-c. 3)椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为 ,通径是最短的焦点弦. 考点三　直线与椭圆的位置关系 1.位置关系的判断 若把椭圆方程 + =1(a>b>0)与直线方程y=kx+m(k≠0)联立,消去y,整理 成Ax2+Bx+C=0的形式(这里的系数A一定不为零),则: 位置关系 图形 判断方法 交点个数 相交   Δ>0 2 相切   Δ=0 1 相离   Δ<0 0 2.椭圆的弦长 设直线y=kx+m与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|= |x1-x2|=  · 或|AB|= |y1-y2|= · (k≠0). 3.弦中点问题 设AB是椭圆的弦,其中点为P(x0,y0)(y0≠0). 若椭圆焦点在x轴上,则kAB=- . 若椭圆焦点在y轴上,则kAB=- . 综合篇 考法一　求椭圆的标准方程 方法一:待定系数法 方法二:定义法   例1    (2022长沙长郡中学一模,14)已知椭圆C: + =1(a>b>0),若长轴长 为6,且两焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的标准方程为　　　　　    . 解析　设椭圆的半焦距为c(c>0).由椭圆长轴长为6,知2a=6,得a=3. ∵两焦点恰好将长轴三等分,∴2c= ×2a=2,得c=1,∴b2=a2-c2=9-1=8,∴此 椭圆的标准方程为 + =1. 答案     + =1 考法二　求椭圆的离心率(或范围) 1.给定椭圆的方程→确定a2,b2→求出a,c的值→利用e= 求解. 2.椭圆方程未知→建立关于a,b,c的齐次式(不等式)→化为关于a,c的齐次 式(不等式)→化为关于e的方程(不等式)求解. 例2    (2022广东汕头二模,5)已知椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的 直线AB与椭圆交于A,B两点,当△F2AB为正三角形时,该椭圆的离心率为  (　    ) A. 　    B. 　    C. 　    D.  解析　设正三角形F2AB的边长为m,椭圆的标准方程为 + =1(a>b>0), 左、右焦点坐标分别为F1(-c,0),F2(c,0),|BF1|=x,则有|AF1|=m-x.由椭圆的定 义可知|BF1|+|BF2|=2a⇒x+m=2a,|AF1|+|AF2|=2a⇒m-x+m=2a,解得m= a,x=  a. 在△F2F1B中,由余弦定理可知|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2-2|BF1|·|BF2|·cos ,即4c2=  a2+ a2-2· · · ⇒a2=3c2⇒e= = . 答案    B 例3    已知椭圆 + =1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,若在直线x=2a 上存在点P使线段PF1的垂直平分线过点F2,则椭圆离心率的取值范围是 　　　    . 解析　连接PF2.∵直线x=2a上存在点P使线段PF1的垂直平分线过点F2,∴ |PF2|=|F1F2|=2c.若点P在x轴上,则|PF2|=2a-c;若点P不在x轴上,则|PF2|>2a-c. ∴|PF2|=2c≥2a-c,即2a≤3c.∴e≥ ,又e<1,∴