圆锥曲线的最值问题　课件——2023届高三数学二轮专题

圆锥曲线中的最值问题 【基础检测】 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)设点P 为双曲线 (a>0,b>0)上的任一点,则|x0|≥a. (　　) (2)椭圆 (a>b>0)上的点到焦点距离的最大值是a＋c(c为半焦距).(　　) 2.抛物线y＝x2上一点到直线2x－y－4＝0的距离最短的点的坐标是(　) A. （1/2，1/4） B.(1,1) C. （3/2，9/4） D.(2,4) V X B 3.已知P是抛物线y2＝4x上的一个动点,Q是圆(x－3)2＋(y－1)2＝1上的一个动点,N(1,0)是一个定点,则|PQ|＋|PN|的最小值为(　　) A.3 B.4 C.5 D. A (2)几何法：①利用圆锥曲线的定义结合对称的有关结论求到两定点距离的和差的最值；②利用平面几何中的有关结论求其最值. 【关键能力】 例 【点评】本题主要考查椭圆的方程,圆锥曲线中的最值问题, 考查的核心素养是数学运算、逻辑推理. 【即时巩固】 1　已知过抛物线y2＝4x的焦点F的弦与抛物线交于A,B两点,过A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为C,D,则|AC|＋|BD|的最小值为________. 2 设F1是椭圆 的左焦点,P是椭圆上的任意一点,点M的坐标为(6,4)则|PM|＋|PF1|的最大值为________. 谢谢专家指导！ 【课标要求】 会运用代数、三角、几何等方法解决与圆锥曲线有关的最值问题,培养推理思维能力、运算能力. 解法三：(导数法)y＝x2的导数为y′＝2x, 设所求点为P(x0,y0),则2x0＝2. ∴x0＝1,∴P(1,1). [解析] 解法一：设抛物线上任一点为(x,y), 则由点到直线的距离得 d＝eq \f(|2x－y－4|,\r(5))＝eq \f(|2x－x2－4|,\r(5))＝eq \f(|（x－1）2＋3|,\r(5))＝eq \f(（x－1）2＋3,\r(5))≥eq \f(3,\r(5)).当x＝1时,取得最小值,此时点的坐标为(1,1). 解法二：设2x－y＋m＝0与y＝x2相切,则x2－2x－m＝0. Δ＝4＋4m＝0,∴m＝－1,此时x＝1,∴点的坐标为(1,1). [解析] 由抛物线方程y2＝4x,可得抛物线的焦点F(1,0),又N(1,0),所以N与F重合. 过圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的圆心M作抛物线准线的垂线MH,交圆于Q,交抛物线于P,则|PQ|＋|PN|的最小值等于|MH|－1＝3. 【必备知识】 1.求圆锥曲线的有关最值,常用方法有：代数法和几何法. (1)代数法：借助函数求最值的方法.运用代数法时,先要建立“目标函数”,然后根据“目标函数”的特点灵活运用求最值的方法.常用的方法有： ①配方法：由于二次曲线的特点,所求“目标函数”的表达式常常和二次函数在某一个闭区间上的最值紧密联系,这时可对二次函数进行配方,并根据顶点的横坐标结合区间的端点确定所求函数的最值； ②基本不等式法：如能转化为定和或定积的问题,可以考虑用基本不等式求其最值； ③三角法：借助圆锥曲线的参数方程或三角代换,将所求最值问题转化为三角函数的最值问题. 1.(2020·新高考全国卷Ⅱ)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)过点M(2,3),点A为其左顶点,且AM的斜率为eq \f(1,2). (1)求C的方程； (2)点N为椭圆上任意一点,求△AMN的面积的最大值. [解析] (1)由题意可知直线AM的方程为：y－3＝eq \f(1,2)(x－2),即x－2y＝－4. 当y＝0时,解得x＝－4,所以a＝4, 椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)过点M(2,3),可得eq \f(4,16)＋eq \f(9,b2)＝1,解得b2＝12. 所以C的方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1. (2)设与直线AM平行的直线方程为：x－2y＝m, 如图所示,当直线与椭圆相切时,与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N,此时△AMN的面积取得最大值. 由两点之间距离公式可得|AM|＝eq \r(（2＋4）2＋32)＝3eq \r(5). 所以△AMN的面积的最大值为eq \f(1,2)×3eq \r(5)×eq \f(12\r(5),5)＝18. 联立直线方程x－2y＝m与椭圆方程eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1, 可得：3(m＋2y)2＋4y2＝48, 化简可