专题八8.5空间角与距离，空间向量及其应用课件——2023届高三数学一轮复习

8.5专题八、空间角与距离，空间向量及其应用 知识梳理 基础篇 考点一　用向量法证明空间中的平行和垂直 设直线l,l1,l2的方向向量分别为v,v1,v2,平面α和平面β的法向量分别为m,n. 1.l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2;l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2=0. 2.与平面α共面的两个不共线向量分别为a和b,则l∥α或l⊂α⇔存在两个 实数x,y,使v=xa+yb. 3.l∥α或l⊂α⇔v⊥m;l⊥α⇔v∥m. 4.α∥β⇔m∥n;α⊥β⇔m⊥n⇔m·n=0. 考点二　空间角和空间距离 1.用向量法求空间角 1)线面所成角公式:设l为平面α的斜线,a为l的方向向量,n为平面α的法向 量,θ为l与α所成的角,则sin θ=|cos<a,n>|= . 2)二面角公式:设n1、n2分别为平面α、β的法向量,二面角为θ,则θ=<n1,n2> 或θ=π-<n1,n2>(需要根据具体情况判断相等或互补),其中cos<n1,n2>=  . 2.用向量法求空间距离 1)点面距离:已知平面α外一点B(x0,y0,z0),平面α内一点A(x1,y1,z1),平面α的一 个法向量n,则点B到平面α的距离为d= . 注意:线面、面面距离均可转化为点到平面的距离,用点到平面的距离公 式求解. 2)两点间的距离:已知点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则A,B两点间的距离为| |=  . 综合篇 考法一　求解直线与平面所成角的方法 1.定义法 1)作:在斜线上选取恰当的点,过该点向平面引垂线,作出所求角,其中确定 垂足的位置是关键;2)证:证明所作的角为直线与平面所成的角;3)求:构造 角所在的三角形,利用解三角形的知识求角. 2.公式法 sin θ= (其中h为斜线上除斜足外的任一点到所给平面α的距离,l为该点 到斜足的距离,θ为斜线与平面α所成的角). 3.向量法 sin θ=|cos< ,n>|= (其中AB为平面α的斜线,n为平面α的法向量,θ 为斜线与平面α所成的角). 例1    (2021浙江,19,15分) 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠ABC=120°,AB=1, BC=4,PA= ,M,N分别为BC,PC的中点,PD⊥DC,PM⊥MD. (1)证明:AB⊥PM; (2)求直线AN与平面PDM所成角的正弦值. 解析    (1)证明:在△CDM中,DC=1,MC=2,∠DCM=60°,则DM= ,所以CD ⊥DM.又因为CD⊥PD,所以CD⊥平面PDM.因此CD⊥PM.又因为AB∥ CD,所以AB⊥PM. (2)解法一(定义法):连接AC交DM于点E,过E作EF∥AN交PC于点F,过点F 作FH∥CD,交PD于H,连接HE.由(1)知CD⊥平面PDM,所以FH⊥平面 PDM.故∠FEH是直线AN与平面PDM所成的角.由(1)知PM⊥CD,又已知 PM⊥MD,所以PM⊥平面ABCD.连接AM,在平行四边形ABCD中,AM= , AC= .在直角△PMA中,由PA= ,AM= 得PM=2 .在直角△PMC 中,由PM=2 ,MC=2得PC=2 .在△PAC中,由PA= ,PC=2 ,AC=  得AN= . 在平行四边形ABCD中, = ,所以 = = ,故EF= ,HF= ,在直角 △FHE中,sin∠FEH= = .因此,直线AN与平面PDM所成角的正弦值 为 . 解法二(向量法): 如图,以D为原点,分别以DM,DC所在直线为x,y轴,建立空间直角坐标系D- xyz. 则A(2 ,-2,0),C(0,1,0),M( ,0,0),设P( ,0,z0),z0>0,因为PA= ,所以z0= 2 ,故P( ,0,2 ),N ,所以 = , =( ,0,2 ),  =( ,0,0).设平面PDM的法向量为n=(x,y,z),由 得  取n=(0,1,0).设直线AN与平面PDM所成角为α,所以sin α= |cos< ,n>|= = .因此,直线AN与平面PDM所成角的正弦值为  . 考法二　求解二面角的方法 1.定义法:在二面角的棱上找一个特殊点,过该点在两个半平面内分别作 垂直于棱的射线,如图(1),∠AOB为二面角α-l-β的平面角. 2.垂面法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面的 交线所形成的角即为二面角的平面角,如图(2),∠AOB为二面角α-l-β的平 面角. 3.垂线法(三垂线定理法):过二面角的一个半平面内一点(不在棱上)作另 一个半平面所在平面的垂线,从垂足出发向棱引垂线,利用三垂线定理(线 面垂直的性质)即可找到所求二面角的平面角或其补角.如图(3),∠ABO为 二面角α-l-β的平面角.   4.利用射影面积公式:cos θ= (θ为两平面的