专题八8.4直线，平面垂直的判定和性质课件——2023届高三数学一轮复习

8.4专题八、直线，平面垂直的判定和性质 知识梳理 基础篇 考点一　直线与平面垂直的判定和性质 1.线面垂直的判定和性质 1)线面垂直的判定 图形     条件 l⊥a,l⊥b,a∩b=O,a⊂α,b⊂α a∥b,a⊥α 结论 l⊥α b⊥α 2)线面垂直的性质 图形     条件 a⊥α,b⊂α a⊥α,b⊥α 结论 a⊥b a∥b 2.直线与平面所成的角 1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和 这个平面所成的角. 2)直线l与平面α所成角θ的取值范围 直线l和平面α 的位置关系 l⊂α或l∥α l⊥α l和α斜交 θ的取值范围 θ=0° θ=90° 0°<θ<90° 3)最小角定理:平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是这条斜线和 这个平面内任一条直线所成角中最小的角. 三余弦公式:cos θ=cos θ1·cos θ2(如图所示,其中θ1是斜线OA与平面α所成的 角,θ2是斜线OA的射影AB与平面内的直线AC的夹角,θ是斜线OA与平面内 的直线AC的夹角).   考点二　平面与平面垂直的判定和性质 1.二面角 1)定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 2)二面角的平面角 在二面角的棱上任取一点,以此点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于 棱的两条射线,这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.记此角为θ, 当θ=90°时,二面角叫做直二面角. 3)二面角的取值范围:[0,π]. 2.面面垂直的判定和性质 1)面面垂直的判定 图形     条件 α∩β=l,OA⊂α,OB⊂β,OA⊥l, OB⊥l,且∠AOB=90° l⊂β,l⊥α 结论 α⊥β α⊥β 2)面面垂直的性质 图形     条件 α⊥β,α∩β=a,l⊂β,l⊥a α∩β=l,α⊥γ,β⊥γ 结论 l⊥α l⊥γ 知识拓展 1.三垂线定理及其逆定理 1)三垂线定理:在平面内的一条直线,如果与这个平面的一条斜线在这个 平面内的射影垂直,那么它也与这条斜线垂直. 2)三垂线定理的逆定理:如果平面内一条直线与该平面的一条斜线垂直, 那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影. 2.垂直问题的转化方向图   综合篇 考法一　判定或证明直线与平面垂直的方法 1.利用线面垂直的判定定理:l⊥a,l⊥b,a∩b=O,a⊂α,b⊂α⇒l⊥α(主要方 法); 2.利用平行线垂直平面的传递性:a∥b,a⊥α⇒b⊥α; 3.利用面面垂直的性质定理:α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β(主要方法); 4.利用面面平行的性质:α∥β,a⊥β⇒a⊥α; 5.利用面面垂直的性质:α⊥β,α⊥γ,β∩γ=l⇒l⊥α. 例1    (2018课标Ⅱ,19,12分)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2 , PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点. (1)证明:PO⊥平面ABC; (2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离. 解析    (1)证明:因为AP=CP=AC=4,所以△APC为等边三角形,又O为AC的 中点,所以OP⊥AC,且OP=2 .连接OB,因为AB=BC= AC, 所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB= AC=2.由OP2+OB2=PB2 知,OP⊥OB.由OP⊥OB,OP⊥AC,OB∩AC=O知PO⊥平面ABC. (2)作CH⊥OM,垂足为H.由(1)可得OP⊥CH,又OP∩OM=O,所以CH⊥平 面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.由题设可知OC= AC=2,CM = BC= ,∠ACB=45°.所以OM= ,CH= = .所以 点C到平面POM的距离为 . 考法二　判定或证明平面与平面垂直的方法 1.利用面面垂直的判定定理:l⊥α,l⊂β⇒α⊥β(主要方法); 2.利用面面垂直的定义(作出两平面构成的二面角的平面角,并计算其大 小为90°); 3.利用平行的传递性:α∥β,α⊥γ⇒β⊥γ. 例2    (2021全国乙文,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,M为BC的中点,且PB⊥AM. (1)证明:平面PAM⊥平面PBD; (2)若PD=DC=1,求四棱锥P-ABCD的体积. 解析    (1)证明:由于PD⊥平面ABCD,AM⊂平面ABCD,则PD⊥AM,又PB ⊥AM,PB∩PD=P,PB,PD⊂平面PBD,所以AM⊥平面PBD,因为AM⊂平面 PAM,所以平面PAM⊥平面PBD. (2)由(1)知AM⊥平面PBD, 因为BD⊂平面PBD,所以AM⊥BD,所以∠MAB+∠ABD=90°, 因为四边形ABCD为矩形,所以∠DAB=∠ABM, 所以∠MAB+∠AMB=90°,所以∠ABD=∠AMB