专题八8.2点，线，面的位置关系课件——2023届高三数学一轮复习

8.2专题八、点，线，面的位置关系 知识梳理 基础篇 考点一　点、线、面的位置关系 1.四个基本事实 基本事实1:过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面.用途:①确定 一个平面;②判断两个平面是否重合;③证明点、线共面. 基本事实2:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在这个 平面内.用途:证明“点在面内”或“线在面内”. 基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一 条过该点的公共直线.用途:①证明“三点共线”“三线共点”;②确定两 平面的交线. 基本事实4:平行于同一条直线的两条直线平行.用途:判断直线平行. 2.三个推论 推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. 3.空间点、线、面的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行 关系       相交 关系       独有 关系     4.等角定理:如果空间中两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等 或互补. 考点二　异面直线所成的角 1.定义:设a,b是两条异面直线,经过空间中任一点O作直线a'∥a,b'∥b,把a' 与b'所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). 2.异面直线所成角的范围: . 注意:空间两直线垂直有两种情况:相交垂直和异面垂直. 综合篇 考法一　点、线、面位置关系的判定及其应用 1.证明点共线问题的方法 1)基本事实法:先找出两个平面,然后证明这些点都是这两个平面的公共 点,再根据基本事实3证明这些点都在交线上. 2)同一法:选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上. 2.证明线共点问题的方法:先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经 过该点. 3.证明点、直线共面问题的方法 1)纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内. 2)辅助平面法:先证明部分点、线确定平面α,再证明其余元素确定平面β, 最后证明平面α,β重合. 例1    (2021辽宁丹东质量测试二,6)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F 分别为C1D1,B1C1的中点,O,M分别为BD,EF的中点,则下列说法错误的是  (　    )   A.四点B,D,E,F在同一平面内 B.三条直线BF,DE,CC1有公共点 C.直线A1C与直线OF不是异面直线 D.直线A1C上存在点N,使M,N,O三点共线 解析　如图所示,连接B1D1,   则B1D1∥BD,B1D1∥EF,所以BD∥EF,所以四点B,D,E,F在同一平面内,故A 正确; 延长BF,DE,则BF,DE相交于点P,又BF⊂平面BCC1B1,DE⊂平面DD1C1C, 则P∈平面BCC1B1,P∈平面DD1C1C,又平面BCC1B1∩平面DD1C1C=CC1,所 以P∈CC1,即三条直线BF,DE,CC1有公共点P,故B正确; 因为A1C为长方体的体对角线,所以直线A1C与直线OF不可能在同一平面 内,所以直线A1C与直线OF是异面直线,故C错误; A1,O,C,C1均在平面AA1C1C内,连接OM,则OM与直线A1C相交,所以直线A1C 上存在点N,使M,N,O三点共线,故D正确.故选C. 答案    C 名师点睛 1.证明三点共线的关键是“找两个相交平面”; 2.证明三线共点的步骤是先证明两直线交于一点,再证明该交点在第三 条直线上. 考法二　异面直线所成的角的求解方法 1.定义法(平移法) 具体步骤如下:   2.向量法 设异面直线a,b的方向向量分别为a,b,则异面直线a,b所成角的余弦值等 于|cos<a,b>|= . 例2    (2018课标Ⅱ,9,5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1= , 则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为 (　    ) A. 　    B. 　    C. 　    D.  解析　解法一(平移法):如图, 将长方体ABCD-A1B1C1D1补成长方体ABCD-A2B2C2D2,使AA1=A1A2,连接 B1C2,DC2,易知AD1∥B1C2,∴∠DB1C2或其补角为异面直线AD1与DB1所成的 角. 易知B1C2=AD1=2,DB1= = ,DC2= = = . 在△DB1C2中,cos∠DB1C2= = =- ,∴异面直线 AD1与DB1所成角的余弦值为 . 解法二(向量法):以A1为原点建立空间直角坐标系(如图),则A(0,0, ),D1 (0,1,0),D(0,1, ),B1(1,0,0),所以 =(0,1,- ), =(1,-1,- ), 所以cos< , >= = = .则异面 直线AD1与DB1所成角的余弦值为|cos< ,