圆锥曲线中的最值问题　教学设计——2023届高三数学二轮专题

圆锥曲线中的最值问题教学设计 【课标要求】 1.进一步理解圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质，会求解圆锥曲线的相关变量的最值问题，并形成一定的方法； 2.体会“解析法”思想，会从代数与几何两个角度分析和解决圆锥曲线的最值问题，会进行合理的选择； 3形成圆锥曲线最值问题的方法体系和数学思想，形成处理最值问题的基本策略，培养创新意识。（三角法、切线法、导数法、判别式法、基本不等式法） 【教学重点】 求圆锥曲线中的最值问题的基本方法 【教学难点】 形与数的相互转化，化归思想有应用，寻求解决问题的最优方案。 【教学过程】 1、 情景引入 在解析几何中，运动是曲线的灵魂，在形的运动中必然伴随着量的变化，运动中的变化又会引发什么问题？ 在变化中往往重点关注变化中不变的量或关系---------定点、定值问题；变量的变化趋势-------范围最值问题等。 学生活动 设计意图 课后反思 【基础检测】 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)设点P(x0，y0)为双曲线－＝1(a>0，b>0)上的任一点，则|x0|≥a.(　　) (2)椭圆＋＝1(a>b>0)上的点到焦点距离的最大值是a＋c(c为半焦距)．(　　) 2．抛物线y＝x2上一点到直线2x－y－4＝0的距离最短的点的坐标是(　　) A .B．(1，1) C . D．(2，4) 3．已知P是抛物线y2＝4x上的一个动点，Q是圆(x－3)2＋(y－1)2＝1上的一个动点，N(1，0)是一个定点，则|PQ|＋|PN|的最小值为(　　) A．3 B．4 C．5 D.＋1 T1.检查学生对双曲线与椭圆的定义，性质的掌握。 T2通过学生对本题的探索，发现解决本体的方法，如切线法、判别式法等。而这几种方法中切线法为最佳方案。.。 T3本小题入口简单，计算容易，在方法上回归定义，使学生感受与体验定义法解决最值的问题。定义法解决本体是最佳方案。 T2的解法由学生站在课桌边口述变为让学生上黑板板书展示好些。 B． C． D． 【必备知识】 求圆锥曲线的有关最值，常用方法有：代数法和几何法． （1）代数法：借助函数求最值的方法．运用代数法时，先要建立“目标函数”，然后根据“目标函数”的特点灵活运用求最值的方法．常用的方法有： ①配方法：由于二次曲线的特点，所求“目标函数”的表达式常常和二次函数在某一个闭区间上的最值紧密联系，这时可对二次函数进行配方，并根据顶点的横坐标结合区间的端点确定所求函数的最值。 ②基本不等式法：如能转化为定和或定积的问题，可以考虑用基本不等式求其最值。 ③三角法：借助圆锥曲线的参数方程或三角代换，将所求最值问题转化为三角函数的最值问题． （2） 几何法：①利用圆锥曲线的定义结合对称的有关结论求到两定点距离的和差的最值 ②利用平面几何中的有关结论求其最值． 该班表面上学生对三种圆锥曲线的了解有一定的基础，但是深层次的领悟与归纳上存在欠缺，此处让学生知道求圆锥曲线的有关最值常用方法。 让学生先归纳老师再补充最好。 【关键能力】 【例1】(2020·新高考全国卷Ⅱ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点M(2，3)，点A为其左顶点，且AM的斜率为. (1) 求C的方程； (2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值． 通过学生对本题的探索，发现解决本体的方法，如切线法、判别式法等。而这几种方法中切线法为最佳方案。 此题解法可以补充三角法。 【例2】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆M：＋＝1的左顶点为A，过点A的直线与椭圆M交于x轴上方一点B，以AB为边作矩形ABCD，其中直线CD过原点O. (1) 求矩形ABCD面积S的最大值； (2)证明：存在矩形ABCD为正方形． 通过学生对本题（1）的探索，发现解决本体的方法---基本不等式法。 因一题多解方式解答了例1及例2第（1），导致了没有时间解答本题第（2），本节课只设计一个例题最好。 [总结反思] 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法： 一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解； 二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解． 培养学生归纳问题，总结问题的能力。 【即时巩固】 1、已知过抛物线y2＝4x的焦点F的弦与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则＋的最小值为________． 2、设F1是椭圆＋＝1的左焦点，P是椭圆上的任意一点，点M的坐标为，则＋的最大值为________． 3、设P、Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和