专题七7.4数列求和、数列的综合课件——2023届高三数学一轮复习

7.4专题七、数列求和、数列的综合 知识梳理 基础篇 考点一　数列求和 1.公式法 1)直接用等差、等比数列的求和公式求解. 2)掌握一些常见的数列的前n项和公式: 2+4+6+…+2n=n2+n; 1+3+5+…+(2n-1)=n2; 12+22+32+…+n2= ; 13+23+33+…+n3= . 2.倒序相加法 如果一个数列{an},与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常 数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法. 3.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积 构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求. 4.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而 求得其和.以下为常见的拆项公式: 1) = - ; 2) =  ; 3) = - . 5.分组求和法 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开, 可分为几个等差、等比或常见的数列,即先分别求和,再合并,例如: 1){an+bn},其中  2)an=  6.并项求和法 形如an=(-1)nn,an=(-1)nn2等,在求和过程中可将两项并作一项进行求和. 考点二　数列的综合 1.数列与函数综合问题 1)已知函数求解数列问题时,一般利用函数的图象与性质. 2)已知数列求解函数问题时,一般要利用数列的通项公式、前n项和公 式、求和方法等对式子化简变形. 3)数列只能看作自变量为正整数的一类函数,在解决问题时要注意这一 特殊性. 2.数列与不等式的综合问题 1)判断数列问题中的不等关系时,可以利用数列的单调性,或者借助数列 对应函数的单调性、作差或作商比较大小; 2)以数列为载体,考查不等式的恒成立问题时,可转化为数列的最值问题, 可利用数列单调性或数列对应函数的单调性; 3)解决与数列有关的不等式的证明问题时,可构造函数证明,或利用放缩 法证明. 综合篇 考法一　错位相减法求和 1.当{an}是等差数列,{bn}是等比数列时,求数列{an·bn}的前n项和常采用错 位相减法. 2.用错位相减法求和时,应注意: 1)要善于识别题目类型,特别是等比数列的公比为负数的情形. 2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”, 以便于下一步准确地写出“Sn-qSn”的表达式. 3)应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1,如果q=1,那么应用公 式Sn=na1. 例1    (2022江苏金陵中学二模,17)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=2, 且满足4a1,2a2,a3成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)记Tn=2a1+3a2+…+(n+1)an,求Tn. 解析    (1)设等比数列{an}的公比为q,依题意,知4a2=4a1+a3,则4a1q=4a1 +a1q2, ∴q2-4q+4=0,(q-2)2=0,q=2, ∴an=2·2n-1,即an=2n. (2)∵an=2n, ∴Tn=2×21+3×22+4×23+…+n·2n-1+(n+1)2n①, 2Tn=2×22+3×23+4×24+…+n·2n+(n+1)2n+1②, ①-②得-Tn=2×21+22+23+…+2n-(n+1)2n+1, ∴-Tn=21+22+23+…+2n-(n+1)2n+1+2, ∴-Tn= -(n+1)2n+1+2,∴-Tn=2n+1-2-(n+1)·2n+1+2=-n·2n+1,∴Tn=n·2n+1. 考法二　裂项相消法求和 1.对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列,在求和时常用“裂项 法”,分式型数列的求和多用此法. 2.利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后 一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项.将通项裂项后,有时需要调整 前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等. 例2    (2022海南嘉积中学等四校联考,18)①等比数列{an}的公比为2,且a4 是a3与a5-8的等差中项;②a2=4,S3=14且{an}为递增数列,在①②中任选一 个,补充在下列横线上并解答. 已知等比数列{an}中,Sn为数列{an}的前n项和,若　　　    . (1)求数列{an}的通项公式; (2)若bn=(n+1)log2an,记数列 的前n项和Tn,求证: ≤Tn<1. 解析    (1)选①.因为a4是a3与a5-8的等差中项,所以2a4=a3+a5-8,则16a1=4a1+ 16a1-8,解得a1=2,所以数列{an}的通项公式是an=2n. 选②.设{an}的公比为q,依题意,有 解得 或  因为数列{an}是递增数列,所以 所以数列{an}的通项公式是 an=2n. (2)证明:由(1)知an=2n,则bn=