专题七7.3等比数列课件——2023届高三数学一轮复习

7.3专题七、等比数列 知识梳理 基础篇 考点一　等比数列及其前n项和 1.等比数列的相关概念 1)定义:①一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比都 等于同一常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的 公比,公比通常用字母q(q≠0)表示.② =q(n≥2,n∈N*,q≠0). 2)通项公式:an=a1qn-1(n∈N*,a1,q≠0).推广:an=amqn-m(m,n∈N*,m≠n). 3)等比中项:如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么称G 为a与b的等比中项,即G=± (a,b同号). 2.等比数列的前n项和公式 Sn=  考点二　等比数列的性质 1.等比数列的单调性 设等比数列{an}的首项为a1,公比为q. 1)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,数列{an}为递增数列; 2)当q>1,a1<0或0<q<1,a1>0时,数列{an}为递减数列; 3)当q=1时,数列{an}是常数列; 4)当q<0时,数列{an}是摆动数列. 2.等比数列的运算性质 1)若{an}是等比数列,且m+n=p+q,则aman=apaq,其中m,n,p,q∈N*. 特别地,若2m=p+q,则apaq= .反之,不一定成立. 2)若{an}是等比数列,公比为q,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是等比数列,公比 为qm. 3)若数列{an},{bn}是两个项数相同的等比数列,则数列{λan},{ }, ,{an ·bn}和 (λ≠0,n∈N*)是等比数列. 3.等比数列的前n项和的性质 1)当q≠-1(或q=-1且k为奇数)时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…是等比数列. 注意:当q=-1且k为偶数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…不是等比数列. 2)若a1·a2·…·an=Tn,则Tn, , ,…成等比数列. 3)若数列{an}的项数为2n,S偶与S奇分别为偶数项与奇数项的和,则 =q;若 项数为2n+1,则 =q. 注意:在运用等比数列及其前n项和的性质时,要注意字母间的上标、下 标的对应关系. 综合篇 考法　等比数列的判定与证明 定义法 若 =q(q为非零常数,n∈N*)或 =q(q为非零 常数且n≥2,n∈N*),则{an}是等比数列 等比中 项法 若数列{an}中,an≠0且 =an·an+2(n∈N*),则数列 {an}是等比数列 通项 公式法 若数列的通项公式可写成an=c·qn-1(c,q均是不为0 的常数,n∈N*)的形式,则{an}是等比数列 前n项和 公式法 若数列{an}的前n项和Sn=k·qn-k(k为常数且k≠0,q ≠0,1),则{an}是等比数列 温馨提示 证明一个数列{an}不是等比数列,只需要说明前三项满足 ≠a1·a3,或者存 在一个正整数m,使得 ≠am·am+2即可. 例    (2022湖南衡阳八中月考,18)已知数列{an}满足a1=1,a2= , + -  =0(n≥2,n∈N*).记bn= - . (1)证明:{bn}是等比数列; (2)设cn=2log2bn+2+bn,求数列{cn}的前n项和Sn. 解析　 (1)证明:因为 + - =0,所以 - =2 ,整理得bn= 2bn-1,因为b1= - =2,所以{bn}是首项为2,公比为2的等比数列. (2)由(1)易知bn=2n,因为cn=2log2bn+2+bn=2n+4+2n,所以Sn=(6+8+…+2n+4)+(2 +22+…+2n)= + =n2+5n-2+2n+1. 7.3专题七、等比数列 习题精练 基础篇 考点一　等比数列及其前n项和 1.(2023届贵州遵义新高考协作体入学质量监测,4)已知正项等比数列{an} 的前n项和为Sn,若S3=26,a3=18,则S5= (　    ) A.80　    B.81　    C.243　    D.242 答案    D     2.(2022全国乙,理8,文10,5分)已知等比数列{an}的前3项和为168,a2-a5=42, 则a6= (　    ) A.14　    B.12　    C.6　    D.3 答案    D     3.(2022山东联考,4)在正项等比数列{an}中,a1=3,且3a2是a3和a4的等差中 项,则a2= (　    ) A.8　    B.6　    C.3　    D.  答案    B     4.(2022辽宁渤海大学附中考试)已知递增等比数列{an}中,a2+a5=18,a3a4= 32,若an=128,则n= (　    ) A.5　    B.6　    C.7　    D.8 答案    D     5.(2020课标Ⅱ文,6,5分)记S