专题七7.2等差数列课件——2023届高三数学一轮复习

7.2专题七、等差数列 知识梳理 基础篇 考点一　等差数列及其前n项和 1.等差数列相关概念 1)定义:①一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差都 等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列 的公差,通常用字母d表示.②an+1-an=d(同一个常数,n∈N*)或an-an-1=d(同一 个常数,n∈N*,n≥2). 2)等差中项:如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项且2A=a+b. 3)通项公式:an=a1+(n-1)d(n∈N*). 2.等差数列的前n项和 1)公式:Sn= =na1+ d. 2)与函数的关系:Sn= n2+ n.非零数列{an}是等差数列的充要条件 是其前n项和Sn=f(n)是关于n的二次函数或一次函数且不含常数项,即Sn= An2+Bn(A,B是常数). 3)最值:若a1>0,d<0,则Sn存在最大值;若a1<0,d>0,则Sn存在最小值. 考点二　等差数列的性质 1.等差数列的常用性质 1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*). 2)若{an}是等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an.特别地,若p+q =2m,则ap+aq=2am(m,p,q∈N*),反之不一定成立. 3)若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为2d. 4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}(p,q是常数)仍是等差数列. 5)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)组成公差为md的 等差数列. 2.与等差数列各项的和有关的性质 1)若{an}是等差数列,则 也是等差数列,其首项与{an}的首项相同,公 差是{an}的公差的 . 2)若Sm,S2m,S3m分别为等差数列{an}的前m项,前2m项,前3m项的和,则Sm,S2m- Sm,S3m-S2m成等差数列. 3)非零等差数列奇数项和与偶数项和的性质: ①若项数为2n,则S偶-S奇=nd, = . ②若项数为2n-1,则S偶=(n-1)an,S奇=nan,S奇-S偶=an, = . 4)若两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn,则 = . 综合篇 考法一　等差数列的判定 　　判定等差数列的方法: 方法 解读 适合题型 定义法 对于任意自然数n(n≥2),an-an-1 为同一常数⇔{an}是等差数列 解答题中的证明问题 等差中 项法 2an-1=an+an-2(n≥3,且n∈N*)成立 ⇔{an}是等差数列 通项公 式法 an=pn+q(p,q为常数)对任意的正 整数n都成立⇔{an}是等差数列 选择题、填空题中的判定问题 前n项和 公式法 Sn=An2+Bn(A,B是常数)对任意的 正整数n都成立⇔{an}是等差数 列 例1    (2022河北衡水中学二模,18)在数列{an}中,Sn+1=4an+2,a1=1. (1)设cn= ,求证:数列{cn}是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. 解析    (1)证明:由Sn+1=4an+2,得当n≥2时,有Sn=4an-1+2,两式相减得an+1=4an- 4an-1,而cn= ,即an=2ncn,则有2n+1cn+1=4×2ncn-4×2n-1cn-1,整理得cn+1=2cn-cn-1,即cn+1 +cn-1=2cn,所以数列{cn}是等差数列. (2)由Sn+1=4an+2得a1+a2=4a1+2,因为a1=1,所以a2=5,c1= = ,c2= = ,因此, 等差数列{cn}的公差为 - = ,则cn= + (n-1)= n- ,即 = ,则an= (3n-1)·2n-2,所以数列{an}的通项公式为an=(3n-1)·2n-2. 考法二　等差数列前n项和最值问题 　　求等差数列{an}的前n项和Sn的最值的方法:   例2    已知等差数列{an}的公差不等于0,其前n项和为Sn.若a5,S3,S9∈{0,1 8},则Sn的最大值为 (　    ) A.18　    B.20　    C.22　    D.24 解析　设等差数列{an}的公差为d,d≠0.S3=a1+a2+a3=3a2,S9= ·9=9a5, 因为a5,S3,S9∈{0,18},即a5,3a2,9a5∈{0,18},显然9a5≠18,否则a5=2,矛盾,于 是得a5=9a5=0,又3a2≠0,否则a2=0,公差d=0,矛盾,因此,3a2=18,解得a2=6,而a5 =0,则公差d= =-2,an=a2+(n-2)d=-2n+10,由an≥0得,n≤5.等差数列 {an}是递减数列,其前5项都是非负的,从第6项起为负,当n=4或